时辰：2023-09-01 09:19:05
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【中图分类号】O13
引 言
高档数学是一切数学分支的底子，能够或许或许或许或许或许或许或许或许看成全部数学的树干.可是，大部分先生感触感染此课程死板，难以懂得，出格是一些根基观点等闲引发混合.本文就高档数学中函数可积与存在原函数这两个观点停止切磋，但愿给先生无益的启迪.
一、函数可积与原函数存在不用然的接洽
本节起首给出与函数可积及原函数存在这两个观点相干的三个定理.
定理1 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上持续，则y=f（x）在区间[a，b]上可积；
（Ⅱ）如有界函数y=f（x）在区间[a，b]上独一无穷个中断点，则y=f（x）在[a，b]
上可积；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上死板，则y=f（x）在区间[a，b]上可积.
定理2 若函数y=f（x）在区间[a，b]上持续，则y=f（x）在区间[a，b]上原函数存在.
定理3 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上含有第一类中断点，则y=f（x）在区间[a，b]上
不存在原函数；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上有不穷中断点，则y=f（x）在[a，b]
上不存在原函数.
二、经由进程反例揭露函数可积与存在原函数两者互不包罗
本节将经由进程反例揭露函数可积与存在原函数这两个观点互不包罗.
1.可积不用然存在原函数
2.存在原函数不用然可积
三、小 结
本文经由进程比拟函数可积与存在原函数这两个观点，给出两个典范反例，揭露了两者互不包罗的干系.但愿经由进程本文的切磋，给先生无益的启迪，晋升进修高档数学的乐趣.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高档数学（第六版）[M].北京：高档教导出书社，2008.
一、高档数学函数分歧性持续性的根基观点
高档数学中的分歧持续性是从函数持续的根基观点中派生出来的新释义，它是指：存在一个细小变更的边界区间，若是函数界说域之内的肆意两点间的间隔永久不跨越这个边界规模，则这两点绝对应的函数值之差就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许达到肆意小、无穷小，这便是所谓的函数分歧持续性观点。一向以来，高档数学函数分歧持续的观点都是讲授进程中的重点，也是难点之一，在多年的高档数学讲授现实进程中，笔者深切感触感染到先生在进修和把握函数分歧持续观点时的迷惑和坚苦。乃至有不少先生会有如许的疑难：函数持续和分歧持续的本色辨别现实表此刻那里？
带着上述标题标题题目，咱们对函数分歧持续性停止研讨和阐发。函数的分歧持续性是函数的一个首要的特色和性子，它标记着一个持续函数的变更速率有不“渐变”景象，并对其持续性停止归结总结。函数分歧持续性，请求函数在区间上的每点都坚持着持续的特色，不许可显现“渐变”景象，同时还进一步请求它在区间上一切点临近有大体上显现平均变更的趋向。换句话说，函数分歧持续性的界说为：对任给定的负数ε，请求存在一个与自变量x有关的负数δ，使对自变量在界说域区间内的肆意2个值x'和x"，只需两者的间隔x'-x"＜δ，那末函数所对应的函数值f（x'）-f（x"）＜ε。较着，函数分歧持续性的前提要比函数持续的前提强。在今朝接纳的高档数学的讲义中，只是给出分歧持续的根基界说，和操纵该界说证实函数f（x）在某区间上分歧持续的数学体例，进而显现出了函数分歧持续的完善逻辑成果。这类讲授理念是很好的，可是，从现实讲授成果上看，又很倒霉于先生对界说的懂得，出格倒霉于先生对界说中提到的“δ”的懂得，是以笔者倡议讲授使命者将函数分歧持续性观点中所隐含的常识渐渐诠释清晰，以此来赞助泛博先生更快更好地充实懂得分歧持续的观点和意思。高档数学函数持续性的根基界说为：设f（x）为界说在区间I上的函数，若对ε＞0，对每点x∈I，都存在响应δ=δ（ε，x）＞0，只需x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，则称函数f（x）在区间I上持续。该界说说了然函数f（x）在区间I上持续的根基特色。函数分歧持续的根基观点是：设f（x）为界说在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I，只需x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，则称函数f（x）在区间I上分歧持续。要出格正视的是，持续观点中δ与分歧持续观点中的δ完全差别，必然要充实懂得其各自的界说，能力防止混合观点。为了赞助大师更好地懂得函数分歧持续性观点，现将函数函数不分歧持续的观点停止一下描写：存在某个ε0，不论δ 是若何样小的负数，在I上总有两点x' 和x"，固然知足x'-x" ＜0，却有f（x'）-f（x"）＞ε。这便是函数不分歧持续的观点，懂得和进修函数不分歧持续的相干常识，有益于咱们更好地进修和研讨函数分歧持续性标题标题题目。
二、高档数学引入分歧性持续性的意思和代价
高档数学讲义中触及了较多的现实和观点，比方函数的持续性与一向持续性，和函数列的收敛性与分歧收敛性等，都是初学者很等闲混合的附近观点，是以一样成为了高档数学进修中的一个难点标题标题题目。在工程数学中，这些观点很是首要，笔者觉得，搞清晰和弄大白函数的分歧持续的根基观点，和把握鉴定函数是不是具有分歧持续特色的根基体例，无疑都将是理工科先生学好高档数学函数分歧持续性现实常识的焦点关头，也这天后成熟操纵该数学体例的底子和前提。经由进程进修和比拟，咱们能够或许或许或许或许或许或许或许或许得出一个很较着的论断：分歧持续要比持续前提强。高档数学函数分歧持续是一个很首要的观点，在微积分学和其余工程学科中常常会用到分歧持续的常识，并且函数列的分歧持续性和分歧收敛又有着慎密亲密的相互干系。现实上，咱们在停止函数列的收敛标题标题题目研讨时，常常要用到函数列与函数之间的收敛、分歧持续性、分歧收敛等观点及其干系。函数分歧持续的观点是先生进修高档数学的一个难点标题标题题目，证实某一个函数是不是具有分歧持续性是此中的瓶颈标题标题题目，这让良多理工科同窗感应无从脱手。为了处置这一难点，达到化笼统为简略的讲授方针，笔者倡议给出分歧持续性的几种罕见等价情势，能够或许或许或许或许或许或许或许或许很好地赞助进修高档数学的同窗更等闲于懂得和把握函数分歧持续性这一常识要点。高档数学中的函数分歧持续性、函数列分歧有界性、函数列分歧收敛性等“分歧性”观点是进修上的难点，也是讲授纲领中的重点。是以，安稳把握这些观点及与之有关的现实常识，对培育先生杰出的数学素养和立异能力都有着首要的意思。
函数分歧持续的多少意思很是很是首要。数学阐发笼统并且庞杂难明，这门学科自身就有着极强的逻辑思惟和周密特色，首要表此刻它能够或许或许或许或许或许或许或许或许接纳最扼要的数学说话来切确表述其余说话没法量化的庞杂多变的事物成长进程。换言之，其感化在于，能够或许或许或许或许或许或许或许或许量化笼统事物的静态成长进程。其多少意思将在高档数学课程入门中起到一个有益指点感化，清晰开阔爽朗地向先生展现高档数学中最根基的思惟体例和思惟体例，赞助先生懂得笼统观点，进步先生培育自身的立异思惟能力。别的，切磋函数分歧持续和分歧收敛的干系，同时在有界区间上给出分歧持续和分歧收敛的等价干系，有益于先生在此后研讨持续、收敛标题标题题目中具有更多的参考按照。
三、处置高档数学函数分歧性持续性题方针对策
1.一元函数在无穷区间上的分歧持续性
因为用函数分歧持续的界说鉴定函数 是不是分歧持续，常常比拟坚苦。是以，产生了一些以G.康托定理为底子的较简略的辨别法。
定理1 若函数 在 上持续，则 在 上分歧持续。
这个定理的证实体例良多，在华东师大版数学阐发上册中，操纵了无穷笼盖定理和致密性定理来别离证实，本文选用闭区间套定理来证实。
阐发：由函数分歧持续的本色知，要证 在 上分歧持续，便是要证对 ，能够或许或许或许或许或许或许或许或许分区间 成无穷多个小区间，使得 在每小区间上肆意两点的函数值之差都小于 。
证实：若上述现实不成立，则最少存在一个 ，使得区间 不能按上述请求分红无穷多个小区间。将 二平分为 、 则两者傍边最少有一个不能按上述请求分为无穷多个小区间，记为 ；再将 二平分为 、 依一样的体例取定其一，记为 ；......如斯持续下去，就取得一个闭区间套 ，n=1，2，…，由闭区间套定理知，存在独一一点c知足
（2-13）
且属于一切这些闭区间，以是 ，从而 在点 持续，是以 ，那时，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，是以咱们可取充实大的k，使 ，从而对 上肆意点 ，都有 。是以，对 上的肆意两点 ，由（2-14）都有 。（2-15）
这标明 能按请求那样分为无穷多个小区间，这和区间 的取法抵触，从而得证。定理1对开区间不成立。妨碍由区间持续性转变为区间分歧持续性有两种环境：（1）对无穷开区间，这时候辰候候辰候端点能够或许或许或许或许或许或许或许成为粉碎分歧持续性的点；（2）对无穷区间，这时候辰候候辰候函数在无穷远处也能够或许或许或许或许或许或许或许粉碎分歧持续性。
定理2函数 在 内分歧持续在 持续，且 与 都存在。
证实：若 在 内分歧持续，则对 ，当 时，有
，（2-16）
是以当 时，有
。（2-17）
按照柯西收敛准绳，极限 存在，同理可证极限 也存在，从而 在 持续， 与 都存在。
若 在 持续，且 和 都存在，则
令（2-18）
是以有 在闭区间 上持续，由Contor定理， 在 上分歧持续，从而 在 内分歧持续。
按照定理2等闲得以下推论：
推论1 函数 在 内分歧持续在 持续且 存在。
推论2 函数 在 内分歧持续在 持续且 存在。
当 是无穷区间时，前提是充实不用要的。
2.一元函数在无穷区间上的分歧持续性
定理3 在 内分歧持续的充实前提是 在 内持续，且 都存在。
证实：（1）先证 在 上分歧持续。
令 ，由柯西收敛准绳有对 使对 ，有
。 （2-19）
现将 分为两个堆叠区间 和 ，因为 在 上分歧持续，从而对上述 ，使 ，且 时，有
。 （2-20）
对上述 ，取 ，则 ，且 ，都有
。 （2-21）
以是函数 在 内分歧持续。
（2）同理可证函数 在 内分歧持续。
由（1）、（2）可得 在 内分歧持续。
若将 分为 和 ，则当 与 别离在两个区间时，即便有 ，却不能顿时得出 的论断。
由定理3还等闲得出以下推论：
推论3 函数 在 内分歧持续的充实前提是 在 内持续，且 存在。
推论4 函数 在 内分歧持续的充实前提是 在 内持续，且 与 都存在。
推论5 函数 在 内分歧持续的充实前提是 在 内持续，且 存在。
推论6 函数 在 内分歧持续的充实前提是 在 内持续，且 与 都存在。
参考文献：
[1]王大荣，艾素梅；分段函数在分段点处的求导体例刍议[J]；沧州师范专迷信校学报；2005年03期
【摘 要】一向以来，高档数学课程进修坚苦、讲授成果不较着，给专业课程的进修带来必然妨碍。从教与学两个差别的角度阐发了高档数学进修进程中碰着的标题标题题目后，给出了观点讲授的对策。
关头词 高档数学；数学观点；讲授
数学观点是人脑对现实东西的数目干系和空间情势的本色特色的一种反应情势，即一种数学的思惟情势，切确懂得并矫捷操纵数学观点，是把握数学底子常识和运算手艺、成长逻辑论证和空间设想能力的前提。数学观点讲授是讲堂讲授的一个首要构成部分，若何教好观点课，让先生深切懂得并切确把握数学观点，是先生学好数学底子常识，进步进修成就的前提，也是培育先生能力的关头。
1 高档数学观点的特色
高档数学是变量的数学，它研讨变量的勾当进程、无穷进程；初等数学是常量的数学，它研讨静态标题标题题目、平均标题标题题目，高档数学从观点到体例都和初等数学有着本色的差别。高档数学的思惟体例中，蕴涵着丰硕的辨证唯心主义的思惟，表现出相互依存与相互转换的对峙统一干系，如常量与变量的干系，无穷与无穷的干系，类似与切确的干系等。刚从中学跨入大黉舍门的重生，他们还习气于用静态、无穷的体例来思虑标题标题题目，以是教员在讲授高档数学的观点时，请求先生在思惟情势上有本色的转变，从常量转向变量，从无穷转向无穷，从而把握高档数学的根基思惟和体例。
2 先生进修高档数学观点的近况
观点是高档数学的底子，底子夯不坚固会严峻影响高档数学的进修。在现实的讲授进程中咱们发明，每个讲授班大要会有50%的先生固然花大批的时辰进修高档数学，上课当真做条记，巴不得把教员黑板上写的每个字都记上去，下课也会做大批的习题，但到最初仍是有30%摆布的先生不能经由进程这门课程。不论是讲堂发问仍是与先生课后交换，咱们发明一个遍及景象：60%摆布的先生对高档数学中的观点不正视。咱们做过一个小规模的查询拜访，查询拜访400名先生学完《极限与持续》后对本章根基观点的把握环境，这次查询拜访成果大抵是：完全说出极限和持续观点的人数为15%，大要体味极限和持续观点的人数为25%，对极限与持续有点印象的人数为20%，几近不晓得极限与持续观点的人数为40%。在后续章节的讲授中，咱们又停止了类似的查询拜访，终究与期末测验的成就停止对照，论断很是较着：根基观点把握好的同窗不论是底子题仍是能力题都做的比拟好；对高数观点博古通今、只会套公式的同窗的底子题还行，可是能力题的得分几近为零。高档数学的观点凡是会以公式的情势显现，刚从中学跨入大黉舍门的重生，受中学教导的影响，把数学的进修简略归结为背定理和公式，套定理和公式。高档数学的进修不只仅是会操纵定理和公式，更应会操纵所学常识矫捷处置现实标题标题题目，培育先生阐发标题标题题目，处置题方针能力，这些能力须要在进修根基界说、定理的进程中渐渐堆集，是以在高档数学的进修中，观点的教与学是很是首要的关头。
3 高档数学观点讲授的首要性
高职教导夸大先生对职业手艺的把握,夸大先生的操纵能力和现实脱手能力，为此课时都首要放在专业课的讲授和操练实训上，在高职的课程设想中底子现实课讲授时数普通都未几，高数教员在无穷的课时内，要体系完成一元微分学的讲授内容，必将每堂课包罗的讲授内容会很是多，凡是是高中讲堂的三、四倍，是以在讲堂上教员不能够或许或许或许或许或许或许或许像高中讲授那样经由进程频频讲授和操练的体例达到既定讲授方针，只能靠讲授根基的观点和定理，在懂得观点的底子上加深常识点的懂得，这也培育了先生的自学能力。咱们对高档数学在后续专业课中操纵的广度和深度做过查询拜访，发明专业课程对高档数学的须要绝大大都是根基观点和定理的操纵，是以更要凸起观点讲授。普通来讲，理工类专业的后续课程都须要用到导数和微分，而复合函数的导数是难点，绝大大都先生都学得不踏实，简略罕见的复合函数会求导，但碰着庞杂一点、出格是分段函数的求导时，就会一筹莫展，这也使得专业课教员对高数教员颇多微词。在先生的问卷查询拜访中发明：60%的先生不晓得复合函数、根基初等函数和导数的界说。在讲授导数时，咱们在差别的讲授班做了对照尝试，在甲讲授班讲复合求导法例时，先详细温习根基初等函数的界说、复合函数的分化和导数的界说，并且增强导数界说类题方针操练，用界说推导了几个根基函数的求导法例，对复合函数链式法例做了简略的申明，并请求先生影象根基观点和定理；在乙讲授班间接讲授复合函数的求导法例，不对根基初等函数的观点，复合函数的分化停止温习，把讲授重点放在求导公式的影象和操纵上，最初用同难度和数方针标题标题题目停止测试，发明夸大观点讲授的甲班对导数的把握环境，不论从底子题仍是能力题都要比乙班好30%摆布。固然差别的讲授班会有一些不必定的随机身分影响成果，但普通来讲差别不会这么大，以是观点讲授是很是首要的。
积分在经管类专业课程中操纵较多，先生普通只会机器地套用根基的积分公式，处置简略的积分标题标题题目，但因为积分公式比拟多，先生感触感染影象承担较重，碰着范例附近的标题标题题目常常混合，这些标题标题题目产生的缘由是先生对原函数的观点的懂得不透辟，乃至有些先生连原函数的观点都说不出，更谈不上矫捷操纵积分了。若是先生能够或许或许或许或许或许或许或许或许吃透原函数的观点，书籍上那些根基积分表底子用不着影象，它只不过是求导公式的逆运算，记着了求导公式，弄清晰了不定积分的观点，就能够或许够或许或许或许或许或许很等闲记着积分表了。不过绝大大都先生对原函数的观点只是逗留在字面的懂得，搞不清它的本色，也就搞不清积分与导数之间的干系，感触感染不定积分学起来比拟费力，从而给定积分的进修带来很大的坚苦。
总之，不论是教仍是学，为了让高档数学这门东西性学科更好地办事于专业课，在高职教导“必须，够用”的理念下，观点讲授是处置诸多抵触的行之有用的体例之一。
4 高档数学观点讲授的正视事变
高档数学观点是一系列摸索勾当的产品，咱们该当让先生亲历常识发明的进程，在裸露数学观点天生的思惟体例上多下工夫，并正视揭露出观点的本色，完成由较为直观的表述向严酷的情势化表述的转化，把活跃活跃的理性思辩经由进程数学观点的天生传导给先生，实施能动的心思和智能的扶引。高档数学的观点凡是比拟笼统和松散，是以观点课等闲给人死板有趣的感触感染，先生会比拟排挤它，教员在讲课时，要讲求一些手艺，把松散的观点用浅显易懂的说话描写（如原函数观点描写成导数的逆运算，用加和减、乘与除的干系类比两者的干系），能够或许或许或许或许或许或许或许或许用笼统直观的图像说话来描写（如极限观点），也能够或许或许或许或许或许或许或许或许用专业课程中的专着名词来描写观点，让先生提早感触感染高数的感化（如经管专业中的边沿便是导数）。别的一方面，先生上观点课有一种错觉：为甚么我把观点背得倒背如流，但不会解题呢？现实上，先生会背观点不用然标明他已取得观点，真正意思上的取得观点，便是操纵观点做出鉴定和推理，能够或许或许或许或许或许或许或许或许按照观点处置数学标题标题题目，是以教员在讲授观点时不能办事论事，死抠书籍，观点的引入要合适逻辑, 更要合适道理；观点之间要讲求逻辑挨次， 更要正视认知挨次。针对不异的数学观点， 差别的期间、差别的时辰、差别的讲授东西在懂得的深度、偏重点和请求上都不不异，这要按照自身的懂得拔取差别的诠释体例，表现各自的气概。
参考文献
［1］毛京中.高档数学观点讲授的一些思虑[J].数学教导学报,2003,5,12(2).
［2］王富丽.高档数学中极限观点讲授的思虑[J].科技立异导报,2012(1).
［3］王树禾.数学思惟史[M].北京:国防产业出书社,2003.
高档数学的良多观点是中学数学的持续，命题者常常以高档数学中的根基观点为切入点，命制一些高中数学讲义中触及到而未给出详细界说的，或是间接给出高档数学中的新观点的试题。先生需浏览标题标题题目中所包罗的信息，并将高档数学的信息与初等数学常识矫捷地连系来处置标题标题题目。
例1 （2004年复旦大学）若存在M，使肆意 为函数 的界说域），都有 ，则称函数 有界，问函数 在 上是不是有界。
剖析：否。取 ，则 当 趋向于正无穷时，趋向于正无穷。
评析：本题是以高档数学中的有界函数观点作为背景，来鉴定函数是不是为有界函数的一类试题。从所给的信息晓得，鉴定f(x)是D上的有界函数，是不是存在M（M＞0且对肆意x∈D），求|f(x)|的值域，请求先生有较强的常识转化能力。此题是经由进程取出格值，必定函数 在 上能够或许或许或许或许或许或许或许或许趋向于无穷大，从而必定其不是有界的。
例2 (2010年复旦大学)设调集 是实数集 的子集，若是点 知足：对肆意 ，都存在 ，使得 ，则称 为调集 的聚点。用 表现整数集，则在以下调集： (1) ； (2)；(3) ；(4)整数集 中，以0为聚点的调集有()
A. (2) (3)B. (1) (4) C. (1)(3)D. (1)(2)(4)
剖析：“聚点”这个观点按照界说，应懂得为以肆意无穷小为半径，以 为圆心的圆内都最少有 的一个元素（不包罗 ）。对调集（1） ，若取 ，则不存在 知足 。较着（2）、（3）是以0为聚点。对（4），若令 （不是独一的取法，也可取 ，只需 都可），则也不存在 使得 ，综上，应选A。
评析：间接界说高档数学中“聚点”的观点，解此类新界说型题时应在细心浏览阐发资料的同时，要当真体味界说的本色，出格是界说中隐含的或出格景象，连系所学的数学常识和体例，经由进程对界说的细心斟酌和观点的周全熟习使标题标题题目获解。
二、性子型
以高档数学有关性子为背景的自立招生试题常常显现，比方函数图像的高低性、拉格
朗日中值定理和极限思惟等。
例3 （2010年华中师范大学）已知当 时，函数 的图像如图1所示。
（1） 设 ，试用 的图像申明
当 时，不等式 ①成立。
（2） 操纵（1）中不等式证实：若 ，则
对肆意的负数 ，不等式 ②成立。
（3）当 ，且 时，求 的最小值。
剖析：对（1）请求操纵图像诠释不等式①成立，这就须要将代数说话转化成多少说话。在 的图像中剖析 的多少意思，再操纵这些多少意思申明不等式①成立，从而有以下解法：
设 ，由图2可知，当 时，有
即
对（2）请求用不等式①证实不等式②，此时请求
先生大白不等式①成立的前提，并将不等式②与不等式①
作比拟阐发，挑选得当的代数变形体例。因为不等式①成立的前提是 ，将②式双方 次幂，则不等式②等价于 ③
因为 ，由①易得③。
对（3），可由不等式①求解，
将 做得当的代数变形即有：
以是 等号当且仅当 时成立。
还可由不等式②求解：
因为 故有 ，从而 等号当且仅当 时成立。
评析：所谓“高档背景，初等解法”，不现成解法或套路可仿照，要矫捷操纵所学常识。
三、论断型
在高档数学中良多论断与中学数学比拟靠近，这些既是中学数学的首要常识，也是高档数学中的底子常识，此中某些论断只需略加论述和革新，就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许以中学数学的情势显现，如许的试题既能够或许或许或许或许或许或许或许或许考查先生能力，又有益于高档数学与中学数学的慎密连系。
例4(2010年南开大学)求证：
剖析：令
死板递增。
又 ，
则 死板递增。
分段函数是指在自变量的差别变更规模中,对应法例用差别款式表现的一个函数。分段函数在每段内对应的剖析式是初等函数,在分段点处的特色常常会产生很大的很是,这也是用作反例的首要代价。本文首要将一元分段函数作为反例,在高档数学中先生不易懂得或易混合的几个首要观点中停止操纵。
1 初等函数与分段函数
由根基初等函数颠末无穷次的四则运算和无穷次的复合运算而构成的并可用一个款式表现的函数称为初等函数。因为分段函数是由几个款式表现的函数,有些教员讲授初等函数的观点时,只夸大初等函数用一个款式表现,等闲地得出分段函数非初等函数的论断。现实上并非一切的分段函数都不是初等函数。
比方,函数y=3x+2,x?叟0x+2,x<0为分段函数,可是该函数能够或许或许或许或许或许或许或许或许用y=2x+■+2一个款式表现,显现该分段函数是初等函数。实在分段函数在知足必然前提下是初等函数,可参考文献[2]。经由进程此分段函数例子能够或许或许或许或许或许或许或许或许加深先生对分段函数和初等函数观点的懂得,并且扩大先生的思惟。
2 有界函数与函数值
若函数f(x)在区间I内有界,则称f(x)在区间I内为有界函数。初学有界函数观点的先生易与无穷的函数值混合。现实上函数有界是函数在研讨区间全体的一个性子,函数值是某点按照对应法例计较的成果,这两个观点是全体和部分上的辨别。
比方,分段函数f(x)=■,x≠00,x=0在肆意x0点的函数值为无穷值■,可是对肆意的θ(θ>1),没干系取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,从而知函数f(x)为无界函数。
3 函数极限与函数值
若是在xa的进程中,对应的函数值f(x)无穷地靠近于常数A,则称数A是函数f(x)在点a的极限。初学函数极限的先生易想固然的觉得函数的极限便是函数在点a处的函数值。现实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值有关。
比方,已知函数f(x)=■,x≠25,x=2,极限■f(x)=
■■=■(x+2)=4,而在x=2处的函数值f(x)=5≠4。
4 无穷大与无界函数
若对肆意给定的不论何等大的负数M,总存在δ>0,当0<x-a<δ时,有f(x)>M成立,则称函数f(x)当xa时为无穷大。初学者常毛病的将无穷大等价为无界函数。现实上无穷大是在研讨规模内为无界函数,但反之不用然成立。无界是指自变量在界说域内,函数值不边界,可是能够或许或许或许或许或许或许或许并不一个趋向。无穷大是在自变量的某个变更进程中有必定的趋向。
比方,已知数列函数f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,此中k为整数。较着它是一个无界数列函数,但当n+∞时,它不是无穷大,因为奇数子列是收敛的,极限值为0。
5 原函数和可积
Abstract: this article through the course of higher vocational higher mathematics nature, design idea, objective, teaching content, teaching methods and evaluation methods, compiling teaching materials, and other aspects of the design, the characteristics of higher vocational education outstanding, design science, and the actual curriculum standard
Keywords: high vocational colleges, the curriculum standard, the reform
中图分类号：S611文献标识码：A 文章编号：
一、媒介
1.课程性子
高档数学课程是高职高专院校各专业的一门首要的底子课程，是理工、财金类各专业的?课之一。它对培育、进步先生的思惟本色、立异能力、迷信精神、治学立场和用数学处置现实题方针能力都有着很是首要的感化。《高档数学》课程既有光鲜现实性、常识性，还具有极强的现实性与现实性，是鞭策专业人材培育情势的鼎新和立异的一门首要的?课程。
2．课程设想思绪
按照课程的根基理念，按照专业群的须要，在内容的挑选上，要从进步本色和增强操纵的角度挑选讲义的内容，斗胆弃取，以知足专业岗亭的须要。针对专业群的先生特色及专业课程数学的须要，增添专业数学的操纵内容，舍去不用要烦琐证实，从头停止组合，构成专业群的数学课程体系。实施模块化的、弹性的、互动的、多条理的讲授，以知足职业岗亭群的须要。突破传统的数学讲授内容的限定、突破现有讲义体系的束缚，将留下的底子数学内容和增添的专业数学的操纵内容，停止阐发、革新、挑选、拆分和整合，而后理顺，构成一套极新的讲授内容。这套内容要弱化情势化的推现实证，强化常识的操纵，表现数学的操纵代价
二、课程方针
经由进程对高档数学课程的进修，使先生能够或许或许或许或许或许或许或许或许取得专业课程须要操纵，顺应职业岗亭及毕生进修所必需的首要的数学常识，把握根基的数学思惟体例和须要的操纵手艺；使先生学会用数学思惟体例去察看、阐发工程现实，从而进一步增进对数学的懂得和乐趣；使先生具有必然的立异精神和提出标题标题题目阐发标题标题题目处置题方针能力，从而增进常识、本色周全充实的成长。
三、讲授内容和详细规范
按照专业课程设置讲授方针和涵盖的使命使命请求，必定课程内容和请求，申明先生应取得的使命、常识和手艺请求。
进修内容 使命使命 常识请求 手艺请求 专业相干案例 学时支配
1.
函数、
坐标系 1.函数观点的成立
2.成立现实标题标题题目中的函数干系，成立简略的数学模子。
3. 作简略的函数图像。
4．熟习空间罕见图形。 1. 懂得函数观点及暗号、表现法.
2.体味反函数和复合函数的观点。
3.把握根基初等函数的性子及其图像。
4.能列出简略的现实标题标题题目中的函数干系。
5.懂得普通立体方程及其各类出格景象。
6.体味球面和母线平行于坐标轴的柱面的方程与扭转曲面的方程和图形，体味空间曲线的参数方程，普通方程。 1. 会求函数的界说域并能用区间表现。
2.会求函数值及函数抒发式。
3.能作简略的函数图像。
4.会求空间两点间的间隔。
5．会求简略的立体方程。
2.
极限 1.由现实标题标题题目引出极限观点.
2.极限的运算。
3.极限操纵 1.晓得函数极限及左、右极限的观点，并能在进修进程中渐渐加深对极限思惟的懂得。
2. 把握极限的四则运算法例。
3.会用两个首要极限求函数的极限。
4.体味无穷小与无穷大的观点，无穷小的性子。 1.极限的运算。
2.极限的操纵。
3.无穷大、无穷小的鉴定。 10
3.
持续 1.函数持续的有关观点。
2.中断的观点及其求法。 懂得函数在一点持续的观点，晓得闭区间上持续函数的性子 1.会鉴定函数在一点的持续性
2.会求函数的中断点并鉴定其范例。 8
4
4.
微分学 1.研讨导数、偏导数的有关标题标题题目 1、懂得导数的观点，体味导数的多少意思及函数的可导性与持续性的干系，并能用导数描写一些简略的现实量。
2、谙练把握导数运算法例和导数的根基公式，会求函数的导数和偏导数。体味高阶导数的观点，能谙练地求初等函数的一阶，二阶导数。
3、体味隐函数和参数式所必定的函数导数的求法。 1.导数观点及多少意思的操纵。
2.会求初等函数的导数；
4.多元复合函数一阶偏导数的求法。 12
2.研讨微分及全微分的有关标题标题题目 1.懂得函数微分和全微分的观点，晓得全微分存在的充实前提。
2.把握微分在类似计较中的操纵。 1.会求函数的微分和全微分。
2.会操纵微分停止类似计较。 4
3.导数的操纵 1.体味罗尔定理和拉格朗日定理。
2.懂得函数的极值观点。把握求函数的极值、鉴定函数的增减性与曲线的凹、凸性、求函数图形的拐点等体例。会求水平与铅直渐近线。能描画简略函数图形。会解较简略的最大值、最小值的操纵标题标题题目。
3.会用洛必达法例求极限。 1.操纵罗尔定理研讨方程的根。
2.操纵拉格朗日定理证实等式和不等式。
3.操纵洛必达法例求不决式的极限。
4.操纵导数求函数死板区间、极值、曲线的高低区间和拐点。
5.操纵导数求一元、二元函数的极值。
6.最值的现实操纵。 8
5.
积分学 1. 不定积分 1.懂得不定积分的有关观点，体味其性子。
2．熟习不定积分的根基公式和运算法例。谙练把握不定积分的换元积分法和分部积分法。 积分运算 12
2. 定积分及其操纵 1.懂得定积分的观点与性子。
2.把握定积分的计较。
3.把握牛顿—莱布尼兹公式。
4.把握定积分的换元积分法和分部积分法.
5.会用定积分抒发一些多少许及物理量（如面积、体积、弧长、功等）的体例。把握操纵定积分的微元法求立体图形的面积 1.积分运算
2. 管帐较定积分
3.操纵定积分求多少许和物理量。 10
6.常微分方程 1.解微分方程
2. 操纵常微分方程处置现实标题标题题目 1.体味微分方程、阶、解、通解、初始前提和特解等观点。
2.谙练把握变量可分手的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3.晓得二阶线性微分方程解的布局。
4.谙练把握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。
1.解微分方程
2.操纵微分方程处置现实标题标题题目。 8
7.
矩阵及其运算 1. 行列式2. 矩阵 1 矩阵的观点与运算
2 行列式及计较
3 矩阵的初等变更及矩阵的秩
4 逆矩阵
12
算计 90
四、讲授体例
接纳开导式讲授、指点发明法、会商法、方针讲授、使命驱动、讲练连系法和实例讲授法等。教员按照差别的讲授内容挑选差别的讲授体例。总之：转变以教员为中间，夸大以先生为主体，给先生以更多的勾当空间，让他们自动地到场讲授进程，进步先生的进修自动性。在讲堂讲授中正视精讲简练，得当增添讲堂操练时辰，以削减先生课外承担。在教员讲课中要贯彻设疑（提出抵触）、析疑（阐发抵触）、解疑（处置抵触）三个关头的开导讲授，指点先生对数学景象有猎奇心，并能停止自力思虑，提出处置题方针体例和摸索题方针思绪。讲授中应尽量操纵古代讲授手艺和古代信息手艺等。进步讲授品质和讲授成果。
五、评估体例
讲授评估分为进程评估（占20-40%）和毕业评估（占60-80%）两部分。
进程评估能够或许或许或许或许或许或许或许或许接纳讲堂评估、功课评估、阶段测验评估、处置现实题方针立异能力评估相连系的体例停止。
毕业评估是学期终毕业测验的情势来评估先生。
六、讲义编写倡议
按照《规范》的请求，讲义的内容要以操纵为方针，以必需、够用为度和少而精的准绳，在保障迷信性的底子上，正视讲清观点，削减数现实证，正视先生根基运算能力和阐发标题标题题目、处置题方针能力的培育，正视现实接洽现实，内容浅显易懂，既便于教员教，又便于先生学，尽力表现高档职业手艺教导特色。在内容的机关上，在保障绝对体系性的前提下，凸起以标题标题题目处置为焦点来机关编排内容，并实时装备与讲义内容合适，矫捷多样难怀抱适中的习题。在内容的显现上要情势多样化，力图将笼统的内容笼统化，如许就请求笔墨描写简练明快流利、多配图形，版面整齐新奇，从而编写出具有自身特色，为师生所爱好的讲义。
参考文献：
1．侯风浪主编的《高档数学》及《高档数学操练教程》（教导部高职高专计划讲义），北京，高档教导出书社。
2．同济大学、天津大学、浙江大学、重庆大学编写的《高档数学》（教导部高职高专计划讲义），北京，高档教导出书社。
《复变函数与积分变更》课程是大学本科理工科类专业的一门底子课。复变函数论首要是在研讨流体力学、电力学、氛围能源学、热力学和现实物理学中成长起来的，为处置这些学科的一些现实标题标题题目起了相称大的感化。复变函数与积分变更现实和数学的其余分支也有慎密亲密接洽。复变函数是高档数学的拓展和延长，此中的保形映照在偏微分方程中有着首要的操纵；积分变更中的傅立叶变更在微分方程、积分方程、几率与数理统计论、泛函阐发学和数论等学科中都是首要的东西。即便是最简略的函数，比方多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数等，也只需在复变函数中能力表现其本色。别的，作为一种出格有用的东西，复变函数傍边的留数现实能够或许或许或许或许或许或许或许或许用来处置良多高档数学中难以处置的标题标题题目。是以，复变函数与积分变更以它的完善的现实与高深的手艺成为大学数学的一个首要构成部分。
固然《复变函数与积分变更》这门课程有着首要的感化，不过大部分高校对此课程设置的课时都比拟少，根基上都是三十二学时或四十八学时，绝对《高档数学》来讲，这些课时是很是无穷的。在无穷的时辰内，若何能让先生充实操纵每周的少许课时，懂得和把握这门课程的精华，并为此后的各门专业课打下坚固的底子，这一点对每位讲课教员和先生来讲都是极为首要的。以下按照我任教十几年来对该门课程的懂得，简略谈谈我对复变函数与积分变更讲授的几点观点。
1 总结统一观点和性子在复变函数和高档数学中的类似与差别，增强懂得和影象
《复变函数与积分变更》这门课程的内容首要有两部分，前半部分是复变函数，后半部分是积分变更。此中复变函数以现实为主，积分变更以操纵为主。复变函数是以高档数学为底子，同时也是高档数学中实数域向单数域的扩大，是以复变函数中的大部分观点都是和高档数学的观点类似，性子也根基上都是不异的。此中第一章复变函数的观点中，地区的观点，复变函数的观点，复变函数的极限的观点，复变函数的持续性和闭区间上持续函数的性子等和实数域中类似；第三章复变函数的积分中，积分的观点和实数域的定积分，重积分的观点分歧，都是经由进程对所求变量按照“朋分，类似替换，乞降，取极限”这四个进程来界说的；第四章级数中，复变函数的幂级数，泰勒级数也与高档数学中函数的级数，泰勒级数的观点分歧。在讲授这些内容的时辰，任课教员能够或许或许或许或许或许或许或许或许先和同窗们一路简略的回想《高档数学》中的观点和性子，与复变函数论断有辨别的处所能够或许或许或许或许或许或许或许或许重点申明，接着讲授新内容，类似点能够或许或许或许或许或许或许或许或许间接类比，对差别的处所须要重点夸大，并且能够或许或许或许或许或许或许或许或许开导先生去思虑差别的地方的本源。复变函数中的正弦函数和余弦函数是无界函数，指数函数是周期函数，对数函数是多值函数等，这些内容若是任课教员在讲台上只是一味的标新立异，先生会感触感染这是内容的频频，听起课来必定乐趣不高；若是教员能充实变更先生的自动性，让他们自身去带着标题标题题目思虑，带着标题标题题目听课，让他们自身找到类似点和辨别，不只师生之间能够或许或许或许或许或许或许或许或许有杰出的互动性，先生也会对自身总结的这些常识加深印象。
2 把握偏重点，夸大课程的特色
《复变函数与积分变更》这门课的课时普通未几，可是它包罗的内容却良多，是以要想在比拟少的时辰内将一切的内容都详细的先容，那必定是不能够或许或许或许或许或许或许或许的。讲课教员在上课之前该当把握该课程的偏重点，公道的支配好每个章节的讲课时辰。在第一章复变函数中，单数的辐角和单数的模，单数的三角表现和多少表现和单数的运算是此后各章内容的底子，这部分内容只需讲透，先生能力在此后的进修中有个踏实的底子。单数域中的无穷远点是独一的一个点，良多课时少的黉舍将这部分内容作为选讲内容，但我小我觉得这是个底子常识，无穷远点能够或许或许或许或许或许或许或许或许在良多时辰简化计较量，是个很有用的东西，并且在积分变更的内容中也会触及到这方面的常识，这个常识点须要夸大一下；第二章剖析函数中，剖析函数和剖析函数的充要前提是重点，也是研讨复变函数在伶仃奇点处留数的前提；第三章复变函数的积分，这部分内容能够或许或许或许或许或许或许或许或许简略先容道理，为此后先容洛朗级数和留数做前提；至于用柯西积分公式，柯西古萨定理和高阶导数公式去计较封锁曲线的积分能够或许或许或许或许或许或许或许或许简略让先生懂得；第四章级数，洛朗级数是重点，任课教员要让先生懂得洛朗级数和泰勒级数的接洽和辨别，并学会若何将统一复变函数在差别点，差别的圆环域内，睁开成洛朗级数；第五章留数是个新的观点，也是复变函数的焦点，对先生来讲是个全新的常识，任课教员在讲授这部分内容时能够或许或许或许或许或许或许或许或许得当加快速率，操纵剖析函数和洛朗级数的相干现实让先生懂得焦点观点-留数的界说，把握操纵留数和洛朗级数去处置积分题方针体例。留数是复变函数现实傍边一个首要常识点，留数现实也能够或许或许或许或许或许或许或许或许用来处置一些高档数学中很难求解的积分标题标题题目。如许先生能够或许或许或许或许或许或许或许或许感触感染到复变函数除是实数域中现实的拓展，还能够或许或许或许或许或许或许或许或许反曩昔处置实数域中的良多坚苦。
3 积分变更是一个东西，偏重于操纵
积分变更中首要有两个积分变更-傅立叶变更和拉普拉斯变更。这两个变更是相互接洽又有辨别。傅立叶变更是由周期函数的傅立叶级数推行取得的，拉普拉斯变更是在傅立叶变更的底子上优化得来的，这一部分的观点能够或许或许或许或许或许或许或许或许简略讲授。积分变更部分关头是要让先生学会操纵这两个东西处置一些现实标题标题题目，比方在古代旌旗灯号处置的操纵等等；也能够或许或许或许或许或许或许或许或许增添一些时髦的和糊口现实的操纵标题标题题目，进步先生的进修乐趣。固然这也对讲课教员提出了较高的请求，请求教员能够或许或许或许或许或许或许或许或许对积分变更的能够或许或许或许或许或许或许或许的操纵范畴和在其余现实中的用处等多方面的常识都有体味，以便利在讲授中随时能够或许或许或许或许或许或许或许或许变更先生的进修自动性。
4 连系多媒体，延长板书时辰；延长上课的周期，进步效力
复变函数中有部分观点须要很强的空间设想能力，比方根基初等函数的实部与虚部、单数的模与辐角、复球面的观点，函数在伶仃奇点处的留数等；积分变更部分，工程上常常显现的单元脉冲函数，这些对方才打仗到这门课程的先生来讲，都是是很是笼统的。若是能够或许或许或许或许或许或许或许或许经由进程多媒体软件展现这些观点，就会直观的多，先生也等闲懂得。对工科的大部分先生来讲，复变函数与积分变更只是一个处置题方针东西，良多论断不用要请求先生去把握详细缘由，只须要学会并谙练操纵论断就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许了。比方第三章的柯西-古萨定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式等这些论断，先生只需能会操纵就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许了。可是这几个论断绝对来讲都很长，若是讲课教员板书到黑板上须要华侈良多时辰，若是只是照着讲义念一下，先生又不甚么印象。操纵电子ppt，在每次须要用的时辰能够或许或许或许或许或许或许或许或许间接拿出来，并且能够或许或许或许或许或许或许或许或许针对每个论断，对应的举例申明，那样就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许节流不少的时辰。
最初对小学时的课程，但愿能够或许或许或许或许或许或许或许或许延长上课的周期，变成前半学期或后半学期讲授。这一点部分高校已起头实施，一周一次的课程讲授成果远远有一周两三次的成果好。
固然讲课教员在讲堂上为了增添先生的进修乐趣，能够或许或许或许或许或许或许或许或许得当渗入一些古代的数学思惟，为先生进一步进修古代数学常识供给一些接口；接洽其余相干课程的常识和工程现实操纵，以增强先生的综合操纵能力。比方操纵留数计较积分是复变函数现实中一个首要常识点，讲堂上除详细先容这些以外也能够或许或许或许或许或许或许或许或许先容一下留数计较的物理操纵，如在数字滤波器机能阐发和外形设想中的操纵等，这对部分同窗来讲也是激起他们进修乐趣的一些来由。
【参考文献】
中图分类号：O13
1， 反例在高档数学讲授中的感化
高档数学的反例是指合适某一个命题的前提，但又和此命题论断相抵触的例子。切确的命题须要周密的证实，毛病的命题则靠反例否认。
1.1 有助于根基观点的深切懂得
对二元函数的极限的观点，此刻的描写性界说固然比曩昔的“ ”界说简略，但 是表现点 以任何体例靠近于点 ，以是在会商极限是不是存在时，只需挑选两条差别路子，而按这两条路子计较的极限值差别，既可申明极限不存在。
例 会商二元函数
是不是存在极限？
解 当点 沿直线 趋于点 时，有
，当点 沿直线 趋于点 时，有 。可见沿差别路子函数趋于差别值，该函数的极限不存在。又
同理可得 ，二元函数在一点不持续，但其偏导数却存在。但对一元函数是可导必持续，持续必然可导。
1.2 有助于根基定理的懂得把握
在高档数学中，先生对定理前提和论断之间的“充实”、“须要”性的懂得凡是是进修难点。而反例使先生翻开眼界，拓宽思绪，从而周全切确懂得高档数学的根基定理。拉格朗日定理是微积分的根基定理，对它的进修，普通先先容定理（若函数 知足前提： 在 上持续； 在 上可导，则在 内最少荐在一点 ，使得
成立），再连系图形赐与证实。对给定的详细函数，请求能够或许或许或许或许或许或许或许或许鉴定其是不是在所给区间上知足指定的定理的前提，并能求出知足定理中的 。
1.3 有助于毛病命题的有用改正
在一元函数中有两个首要论断。一是可导必持续，持续必然可导；二是若f （x）在某某区间（a， b）内只需一个驻点 ，并且从现实标题标题题目自身又能够或许或许或许或许或许或许或许或许晓得f （x）在该区间内必定有最大值或最小值.则 便是所请求的最大值或最小值。按照惯例的思惟情势，人们很天然把它们推行到二元函数。
2 在高档数学讲授中反例的操纵
在高档数学讲授中增强反例思惟的渗入，能够或许或许或许或许或许或许或许或许强化先生对一些根基观点和定理的进修和懂得，并能够或许或许或许或许或许或许或许或许激起先生进修数学的乐趣，进一步进步讲授成果。
2.1 得当机关反例，加深对观点的懂得
懂得观点是先生学好高档数学的底子，也是其能力培育的先决前提。经由进程反例，从背面消弭一些等闲显现的恍惚熟习，严酷辨别那些附近易混的的观点，把握观点的因素和本色。在高档数学的极限观点讲授中，得当地机关反例，会取得事半功倍的成果。在极限观点的进修中，先生觉得：①有界函数的极限必然存在；
②若 存在，但 不存在，那末 不存在。上述两种设法都是毛病的.对①机关反例
因为当 时， 不能无穷靠近于一个必定的常数 ，以是，极限 不存在，对②机关反例 ，
2.2切确操纵反例，加深对定理的懂得
定理讲授中，反例和证实具有划一首要的地位，经由进程周密的证实能力够或许或许或许或许或许或许或许必定一个命题的切确性，而奇妙的反例便可否认一个命题的切确性。
在高档数学的定理讲授中，切确地操纵反例，能够或许或许或许或许或许或许或许或许周全地懂得定理的前提和论断，更好地操纵定懂得决标题标题题目。对罗尔定理（若函数 知足前提： 在 上持续； 在 上可导；. 。则在（（a，b）内最少存在一点 ，使得 成立）的讲授，因为它只是拉格朗日的惯例，普通是连系图形赐与申明，不做重点讲授。但能够或许或许或许或许或许或许或许或许操纵反例加深对定理的懂得，申明罗尔定理的三个前提是使 成立的充实前提，而不是须要前提。
2.3 有用操纵反例，改正习题中的毛病
进修高档数学须要解题，在解题中要鼓动勉励先生从多方面停止思虑，多角度停止摸索，发掘新思绪：鼓动勉励先生去遐想阐扬，转变前提，对习题停止拓宽。有些失误难以经由进程正面路子查抄出来，而举反例就能够或许够或许或许或许或许或许在较短的时辰内，较直观地反应出毛病地点，并且，由此常常能产生切确的路子。
“反例”揭露了数学上这类“失之毫厘，差之千里”的特色，达到了讲授中那种“翻开眼界，拓宽思绪”的成果。以是，在高档数学讲授中，泛博教员应正视和得当地操纵反例。
参考文献
究其缘由有以下几点；一是先生笼统归结综合能力完善。从客观天下的现实中笼统归结综合出数学观点，对接管过高中教导的人而言，该当开端具有了这类能力。但今朝高职先生这方面能力遍及较差。二是先生对极限思惟和体例的不顺应。因为高档数学是建构在极限现实的底子上、以极限为根基东西研讨函数的一门数学学科，是以，研讨题方针思惟体例全体上由“静态”变成了“静态”。而函数的持续性是操纵极限现实界说的第一个观点，先生对操纵极限思惟描绘函数的这类静态特色，须要一个顺应进程。三是讲义的简化。此刻选用的高职高专《高档数学》计划讲义，在“必需、够用”准绳的指点下，下降了现实难度、简化了常识内容。大都讲义的“函数持续性”一节间接给出函数在点持续的界说，贫乏须要的例证加以赞助。先生很难经由进程浏览讲义懂得函数持续的观点。针对上述缘由，教员在讲授时应偏重捉住以下几点，赞助先生成立起函数持续性的观点。
函数持续性的本色特色
要懂得函数持续的观点，起首要捉住持续的本色特色。天然界中动物的成长、河水的勾当、温度的变更等等景象，都是持续变更着的，把这类景象停止笼统，反应在函数干系上便是函数的持续性。若是只是如许归结综合，先生对持续本色特色的把握是不到位的。此时可再从以下景象阐发：两小我几天不见，再次碰头时并不感触感染到相互的变更，莫非这几天俩人真是都不变更吗？较着不是。人从诞生到兴起，不断辰刻都处在持续变更傍边，固然这类变更很细小，不宜发觉，但它是不中断的。若是咱们从函数的角度阐发，上述景象就相称于函数的自变量在某一区间段上持续变更时，因变量也随之持续变更，即便自变量的变更很细小，因变量也会随之有细小的变更。颠末的如许阐发，先生就能够或许够或许或许或许或许或许较好地把握函数持续性的本色特色了。
函数持续性的研讨体例
函数的持续性反应了现实天下中持续的静态变更景象，如统一个动点能够或许或许或许或许或许或许或许或许沿着一条延绵不断的曲线勾当。若何能力使先生熟习到，研讨函数的持续标题标题题目必须先从研讨函数在一点上的持续起头呢？咱们从天然界的持续景象中很等闲熟习到一个断点就能够或许够或许或许或许或许或许突破一条持续链。一样，察看函数的图像也会发明函数的曲线也显现这个纪律，如动点在曲线y=sinx上能够或许或许或许或许或许或许或许或许顺畅地挪动，而在曲线y=tanx或f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0上挪动时，会在点x=kπ+，（k∈Z）或x=0处被“卡住”。经由进程如许的察看阐发，先生就很等闲归结出：曲线上一个点便可决议一个函数在某个界说区间上的持续性。如许，函数持续的标题标题题目就归结到了研讨函数在一点上的持续。
用甚么体例必定函数在一点上的持续呢？函数在一点上的持续是一个部分观点，反应了函数在一点处两个变量增量间的变更干系，即当函数的自变量有一细小变更时，因变量也随之有一细小变更。若是操纵初等数学的体例描绘这类干系，较着是行不通的，只需借助于极限东西停止深切的阐发研讨。经由进程教员得当指点，先生便会晓得要想处置函数在一点上的持续的标题标题题目必须操纵极限的思惟体例。
函数持续性的界说
一个数学观点的构成进程，是人们对客观景象停止摸索归结、笼统归结综合的进程。讲授上若是对这一进程停止情境再现，不只能够或许或许或许或许或许或许或许或许使先生体味观点的构成背景，并且对先生懂得把握观点的本色及其操纵大无好处。若只是“填鸭式”教授，把观点间接灌注贯注给先生，成果不可思议，也落空了经由进程数学讲授进程对先生停止察看阐发、笼统归结综合能力培育的感化。
讲授“函数持续性”一节时，能够或许或许或许或许或许或许或许或许先借助多媒体给先生播放动物的成长、河水的勾当、汽车在高速路上奔驰等持续景象，再播放一棵大树被拦腰截断、一条大坝截住河水勾当、一座断裂的桥梁构成车辆障碍不前等不持续景象，与先生一路阐发摸索上述景象引出函数持续出格是在一点上的持续的标题标题题目，并构成界说。
凡是，对函数y=f（x）在点x0持续的界说有两种情势：
界说1：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有界说，若是当自变量的增量x=x-x0趋于零时，对应的函数的增量y=f（x0+x）-f（x0）也趋于零，即y=0，那末就称函数y=f（x）在点x0持续。
界说2：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有界说，若是函数f（x）当xx0时的极限存在，且即是它在点x0处的函数值f（x0），即f（x）=f（x0），那末就称函数y=f（x）在点x0持续。
差别的讲义，给出两个界说的挨次差别。不论哪一种挨次，关头是使先生懂得并把握函数y=f（x）要在点x0持续，必须知足前提f（x）=f（x0）或y=0。为了使先生搞清晰前提的寄义，讲授时能够或许或许或许或许或许或许或许或许从反例动手，借助函数的图像加以阐发。
若先讲界说2能够或许或许或许或许或许或许或许或许罗列以下实例：
例1：考查函数y=在点x=1处的变更环境。
如图1所示，函数y=的图像是直线y=x+1去掉了点（1，2），较着函数y=在点x=1处就像一条绳索被剪断为两截不再持续，究其缘由是函数在此点不界说。
例2：考查函数f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在点x=0处的变更环境。
如图2所示，函数f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在点x=0处显现了“腾跃”断开了，这类断开不是因为不界说构成的。先生要问是甚么缘由构成的呢？这时候辰候候辰候应指点先生从极限角度停止阐发，由f（x）=0，f（x）=2，可知f（x）=0不存在，由此便知，函数在有界说无极限的点处不持续。
例3：考查函数f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在点x=1处的变更环境。
如图3所示，函数f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在点x=1处碰着了“圈套”。直察看看，函数在处的函数值不是f（1）=12+1=2，而是f（1）=0.9。再进一步察看发明，函数在点x=1处有界说极限也存在，可是f（x）=2，与函数值f（1）=0.9不相称，以是显现了“圈套”。
三例事后停止小结，得出函数y=f（x）在点x0处若碰着以下三种环境之一就会不持续：（1）不界说；（2）有界说、极限不存在；（3）有界说、极限存在、但极限值与函数值不相称。这时候辰候候辰候长于思虑的先生就会产生以下设法：“当函数y=f（x）在点x0处同时知足了有界说、极限存在、极限值与函数值相称三个前提时，环境会是若何呢？”这时候辰候候辰候教员能够或许或许或许或许或许或许或许或许指点先生察看持续函数曲线在一点上的状态。
例4：考查函数y=x2在点x=2处的持续环境。
经由进程看该函数的图像发明，函数y=x2在点x=2处不断开是持续的，并且同时知足上述三个前提。如许先生就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许比拟充实地熟习到：函数要在一点上持续，必须知足前提f（x）=f（x0），和此中的寄义。从多少角度阐发，动点在颠末曲线上的一点时，履历了沿着曲线无穷靠近于这一点的进程，若是函数在此点持续，动点就能够或许够或许或许或许或许或许达到此点并顺遂经由进程，不然就会被“卡住”。
在讲授界说1时也能够或许或许或许或许或许或许或许或许接纳一样的体例，使先生懂得函数y=f（x）要在点x0持续，必须知足前提y=0。能够或许或许或许或许或许或许或许或许借助以下函数的图像停止直观地阐发。假定函数y=f（x）在点x0处有增量x，那时x0时，由图4所示的函数中发明，其响应函数的增量yA（A≠0），即y=A≠0。从图5所示的函数中看出，响应函数的增量y不能够或许或许或许或许或许或许或许或许收敛于一个必定的常数，从而致使y不存在。在图6所示的函数中，响应函数的增量y∞，即y=∞。以上三种环境，函数y=f（x）在点x0都是不持续的，三个函数在点x0处都不知足前提y=0。而在图7所示的函数中，函数y=f（x）在点x0处持续，而前提y=0恰好在点x0处取得了知足。如许就加深了先生对函数y=f（x）在点x0处知足前提y=0就持续的懂得。而前提y=0描绘了函数持续的本色：当自变量有一细小变更时，因变量也会随之有一细小的变更。
函数持续性的全体观点
若是只将函数的持续性范围在一点上持续的层面上，还不能周全把握函数持续的观点。如当考查函数y=sinx在点x=0处的持续性时，按照函数在一点持续的界说，由等式sinx=0=f（0）便知函数y=sinx在点x=0处是持续的。而当考查函数y=sinx在其界说域（-∞，+∞）上的持续性时，该若何停止呢？这须要进一步成立起函数持续性的全体观点。
普通的，晓得了若何鉴定函数在一点上持续后，应给出函数在开区间（a，b）上持续的观点，即在开区间（a，b）内持续的函数y=f（x），必须在开区间（a，b）内每点都持续。按照上述请求，在切磋函数y=sinx在（-∞，+∞）上持续的标题标题题目时，要申明y=sinx在（-∞，+∞）内的“每点”都持续，较着逐点考证是不能够或许或许或许或许或许或许或许的，若是能够或许或许或许或许或许或许或许或许寻觅到能够或许或许或许或许或许或许或许或许“代表”每点的“点”，经由进程证实函数在此点持续，进而便可申明函数在区间上持续。
经阐发发明，只需在区间（-∞，+∞）上设出肆意一点，用“任一点”取代“每点”加以证实便可使标题标题题目取得处置，这也恰是数学繁复美之地点。若是考查函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的持续性，不只请求它在区间（a，b）上持续，并且还要知足在区间的左端点a处右持续，右端点b处左持续。至此，对函数持续性的观点就完全了，先生就会告竣如许的共鸣：函数的持续是静态变更的，是经由进程函数在其界说区间上的每个点上的持续完成的。持续函数的图形显现为一条连缀不断的曲线。
参考文献：
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[2]罗韵蓉．浅谈函数的持续性与中断点的讲授体味[J]．迷信征询，2009，（4）.
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择要:为了让大一重生尽快顺应高档数学的进修,本身觉得增强高档数学中的观点讲授是一个起关头感化的关头。
对刚迈进大学的理工科的先生来讲，高档数学是首当其冲的一门首要的底子课。良多重生临时还难以顺应，常常产生各类百般的标题标题题目。若何赞助先生渡过这一“很是期间”，使之尽快顺应大学的进修糊口学好高档数学这门首要的底子课？笔者觉得，增强高档数学中的观点讲授是一个起关头感化的关头。
一、切确懂得数学观点是学好高档数学的前提
不论是初等数学仍是高档数学老是从庞杂纷繁的客观天下中笼统出一系列的数学观点，而后以这些观点为底子，停止公道的鉴定和推理，引出一些定理和公式，构成一个现实体系，而后把“这些合适论理的论断”操纵到新的操纵范畴或现实标题标题题目中，是以能够或许或许或许或许或许或许或许或许说，观点是数学的底子，观点讲授应成为高档数学讲授的焦点与重点，它是教员教好与先生学好高档数学的关头。只需当教员深切周全地懂得了观点的内涵与本色此后，能力透辟地讲授给出来，先生能力很好的接管，能力以此为底子停止推理、鉴定、阐发等思惟勾当，懂得数学现实体系的前因后果，把握运算的手艺手艺。从而取得操纵数学体例去阐发标题标题题目与处置题方针能力。
在初等数学中，大大都观点都比教详细直观，先生等闲接管，再加上课时较多，进度较慢，教员由浅入深，人云亦云，使普通先生都不会对接管新观点感应很坚苦。即便有一些先生不正视观点进修只正视计较体例与手艺，但在持久与大批的操练中，因为频频打仗，耳濡目染，人不知鬼不觉地对观点由知之未几过分到知之较多，渐渐把握了观点。但在进修高档数学时，环境产生了很大的转变，高档数学是研讨变量的数学，常常须要用勾当的观点来会商，是以更显得笼统、庞杂。比方极限、导数、积分等观点都是初学者所不能透辟懂得的，加上大学里的讲授进度快，频频操练的机遇少。不免会使一些重生感应不顺应，观点把握不好，乃至于以观点为底子的现实及计较体例固然也就很难学好。是以能不能用无穷的时辰增强观点讲授就成为进步讲授品质的关头。
二、正视观点的引入是进修观点的先导
尽人皆知，数学观点都是由客观现实或客观纪律笼统出来的。良多观点都能够或许或许或许或许或许或许或许或许在现实中找到它的“原型”。比方：从曲线切线的斜率、变速直线勾当的速率的计较等标题标题题目笼统出导数观点。从求曲边梯形的面积、变速直线勾当的旅程等标题标题题目笼统出定积分的观点，这类体例合适先生的熟习纪律，先生只需透辟地懂得处置这些题方针思绪，能力真正地懂得观点的本色及代价。是以，教员不能觉得破费必然时辰讲授这些背景是不代价的、是在华侈无穷的时辰，是以便言简意赅敷衍了事或底子不讲背景，间接拿出界说，接着便是计较，一个例题接着一个例题，这是不安妥的。再者从客观实例引进观点，也为此后操纵这些观点及有关现实去处置操纵标题标题题目作了必然的筹办。
值得正视的是并非每个观点都请求由实例引入，教员可矫捷把握。对一些较易懂得的观点也能够或许或许或许或许或许或许或许或许从已知的观点引出新的观点。比方：无穷小量可由极限观点中当极限值为零时来取得，持续观点也可由极限观点中极限值即是函数值来取得。而原函数的观点天可是然的可由导数的逆运算引出。这些观点对先生来讲都是不难接管的。
总之，不论是由实例笼统出观点仍是由旧常识间接引出新观点，教员的首要方针该当放在使先生懂得观点的构成，把握观点的内涵上，以是所用的例子都不宜太庞杂或专业性太强，不然会构成鹊巢鸠占，反而影响观点的构成与引出。
三、数学观点的界说是观点属性的表现
高档数学中的观点的详细内涵凡是用界说的情势给出，有的观点还同时划定了所接纳的标记。当教员以现实标题标题题目或先生的原有常识为底子笼统出观点此后，就应指点先生懂得界说所指出观点的本色属性，从正面和背面等不通角度去频频体味，并操纵自身的说话切确地论述观点。
以导数的界说为例，教员该当使先生层层深切，懂得以下各点：
第一、因为函数 在点 处的导数是函数增量 与自变量增量 之比当 时的极限，以是该函数必须在 处及其一个范畴内有界说，不然就不可导，比方： 与 在 处就不可导。
第二、函数增量与自变量的增量有差别的表现法。是以导数界说式也有差别的表现法。如： 在 处的导数能够或许或许或许或许或许或许或许或许别离表现为 与 等。当极限不存在时此函数在该点不可导。
第三、界说同时给出了求导数的三个步骤：①求函数增量 ②求函数增量与自变量增量之比 ③求极限 ，告知先生按照这三步就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许求出一些简略函数的导数。
高档数学中有不少观点的界说都大白指出了计较的体例与步骤，除上述导数外，持续观点、定积分观点、级数收敛性观点等都是如斯。教员在停止这类观点讲授时该当破费一些气力按界说指明的体例与步骤停止有关的计较，以增强先生对这一观点的懂得。同时教员也应向先生指出按界说间接停止计较普通是很坚苦的，是以有须要研讨其性子及别的计较法例，如许做就能够或许够或许或许或许或许或许或许或许唤起先生激烈的求知愿望。
固然高档数学中并非一切的观点都是如斯，有些观点的界说只是大白了观点的内涵，而并不给出计较体例与步骤，如极限的切确界说、原函数与不定积分等等。教员在这类观点的讲授中，为了加深先生的懂得，普通都要按界说作一些考证使命，如：证实 ，证实 和 都是 的原函数。
先生在进修高档数学时常常有一个不良习气，轻观点重计较，觉得进修高档数学不过便是要管帐较、会做题。常常有如许的任务产生，有的先生学完了高档数学也晓得 却说不清晰标记 所表现简直切寄义，更有甚者学完了高档数学却不晓得微商是甚么。是以从始至终放松观点的讲授是很首要的，这不只需熟记界说的条则、定理的前提和论断，更首要的是透辟地把握其本色。
四、在观点体系中进修观点
教员常常会碰着如许的环境，有的先生进修一个观点时，觉得大白了界说的本色，可是若把这个观点与别的有关观点放在一路时，就胡涂了，比方极限、持续、可导、可微之间的干系，教员城市给先生讲清晰，但先生一碰着上面的标题标题题目就当机不断，不晓得从何写起:
设
1) 取何值时， 在 处持续？
2) 取何值时， 在 处可导？
3) 取何值时， 的导数在 处持续？
为甚么会显现这类环境呢？一方面是先生还不真正体味观点的本色，有的先生那时弄清晰了但缺少稳固办法，未几就忘了。别的一方面是先生习气伶仃地进修观点，不长于把相干观点比拟教，找出它们之间的接洽与辨别。是以，在停止观点思惟时就会显现“断线”景象，无从下笔，或写不清晰。要处置这个标题标题题目，教员必须在观点体系中教会观点，先生必须在观点体系中学会观点。数学是由观点与命题等外容按必然的逻辑干系构成的常识体系。观点与观点之间总有必然的内涵接洽，出格是一些附近的观点，其接洽更加凸起，先生最易混合。是以，教员在停止观点讲授时要不断的将这些观点与前面所学过的附近观点比拟教，找出它们的接洽与辨别，前面说的极限、持续、导数、可微是如斯，在此此后的四个中值定理更是如斯。
总之，把观点放在观点体系中讲授是教员该当把握的讲授纪律。教员每讲一个新观点，起首必须对这一观点的地位、感化和与别的观点的接洽做到心中稀有，使先生对已学过的观点能做到畅通领悟贯穿，同时，又为此后要学的新观点埋下“伏”笔。
最初要申明的是，对工科高档数学中的观点的讲授，教员必须把握分寸。工科数学究竟结果差别于数学专业的数学，该当偏重于操纵，而不宜在纯数学现实推导上破费过量的精神，别的专业之间也该当有所辨别，这些都是咱们处置工科数学讲授使命的教员该当正视的。
【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2009）01－0071－01
高档数学的根基研讨东西是函数，而研讨函数的根基体例是极限，极限的观点是个比拟笼统的观点。对那些从初等数学进入高档数学的高职高专先生而言，不论从常识布局方面，仍是从思惟体例下去讲，都要有一个本色的转变。为了更好的完成这个转变，就请求咱们教员必须把要教的常识内容停止须要的加工，按照先生的现实环境逐步指点先生走上切确的阐发思惟，笼统，归结综合，处置现实题方针途径。
一、讲授实例，使先生取得有关极限观点的理性熟习。
为了使先生更好的懂得极限的观点，咱们先从以下2个例子来讲授。
例1：若何求圆的面积？
解题思绪：用圆内接正n边形的面积去迫近圆的面积。
设有一圆，其面积记为s，做它的正四边形，正八边形……正n边形，记做s4，s8……sn，当圆内的正多边形的边数愈来愈多的时辰，它的面积就越类似于圆的面积，即当n∞时，sns。
这个例题是很是着名的“刘徽割圆术”，固然那时不严酷的极限界说，可是他的这类思惟恰是表现了极限的观点。
例2：求变速直线勾当的刹时速率。
对这个实例应偏重弄清两个标题标题题目：第一，请求刹时速率，为甚么要先斟酌平均速率？第二，为甚么要划定刹时速率是平均速率的极限？在刹时速率的观点提出之前，已有了匀速直线勾当的速率观点及其计较体例，引出平均速率只需是将非匀速直线勾当转化为敏捷勾当来处置，从而求出刹时速率的类似值。
（s―地位的转变量；t―时辰的转变量）
表现物体在t时辰内的平均速率，它随t的变更而变
化，那时辰转变量t愈来愈小时，地位的转变量s也愈来愈小，
而平均速率 愈来愈靠近必然值，即平均速率作为刹时速率的
类似值，其类似水平越小越好，但不论t何等小，所求得的平均速率还不是t时辰的速率，而只是它的一个类似值。要把这个类似值转化为切确值，即求出了t时辰的速率，只需减少t，当t0时，v（t）v平均，也便是说t越变越小，v平均与v（t）就越靠近，有类似值而奔腾到了切确值。
重点讲清这个事例后，从而使先生熟习到研讨非平均变更的变更标题标题题目确切是天下中存在的遍及标题标题题目，而这类题方针处置都归结为求极限的标题标题题目。
二、按照实例给出函数极限的界说
经由进程上面两个例子，咱们能够或许或许或许或许或许或许或许或许将它们看做是一个函数。若是给定一个函数y＝f（x），其函数值y会跟着自变量x的变更而变更，若当自变量无穷靠近于某个“方针”，这个方针能够或许或许或许或许或许或许或许或许是肆意一个必定的常数x0，也能够或许或许或许或许或许或许或许或许是＋∞或－∞。此时，函数值y无穷靠近于一个必定的常数A，则称函数f（x）以A为极限，上面就以例题并连系它的数值表充实申明函数的极限。
例3：考查当x3时，函数 的变更。
解：函数 在（－∞，＋∞）有界说。
设x从3的左、右边无穷靠近于3，即x的取值及对应的函数表以下：
x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …
f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …
数值表给出后，教员该当指点先生去从静态的无穷量来描绘静态的无穷量，经由进程直观的数据让先生看到，当x愈来愈靠近于
3时，也便是咱们所说的阿谁方针，函数值 的值就
无穷靠近于3，表现了咱们最初用类似值取代切确值的思惟。那末，由这个例题，教员能够或许或许或许或许或许或许或许或许给出极限的界说。
界说：设函数f（x）在点x0的某一空心范畴内有界说，若是当自变量x无穷靠近于x0时，响应的函数值无穷靠近于常数A，则称A为xx0时，函数f（x）的极限，记作： 或
f（x）A（xx0）。
极限的界说给出此后，教员能够或许或许或许或许或许或许或许或许让先生按照极限的界说写出
例三的极限，即 。
这时候辰候候辰候，有些同窗能够或许或许或许或许或许或许或许或许看到， 的极限值与f（3）的函
数值相称，这是若何回事？它会给同窗们一个毛病的观点，求极限便是在求函数值，固然在前面咱们会讲到某些函数求极限是靠函数值求出来的，可是这两者之间不任何干系。
比方，求 ，如图所
示，当x＝1， 有意思，所
以函数值是不存在的，而当x1时，从图像上能够或许或许或许或许或许或许或许或许看出
，以是说，极限是不是存在与这点有不函数值不
任何干系。
参考文献
