时辰：2023-07-24 09:24:14
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思惟品德是指个别思惟勾当出格性的内部表现.它包罗思惟的周密性、思惟的矫捷性、思惟的深切性、思惟的批评性和思惟的火速性等品德.函数作为高中数学的主线，贯串于全部高中数学的一直.函数的界说域是组成函数的三大身分之一，函数的界说域(或变量的许可值规模所组成的调集)仿佛长短常简单的，可是在处置标题标题标题标题标题标题题目中不加以注重，常常会令人误入邪路.在解函数题中夸大界说域对解题论断的感化与影响，对前进先生的数学思惟品德长短常无益的.本文就罕见的函数解题与函数界说域的紧密亲密分解以详细案例的情势睁开论述。
1.函数分解式与界说域
函数分解式包罗界说域和对应法例，以是在求函数的分解式时必须要斟酌所求函数分解式的界说域，不然所求函数分解式能够或许或许或许或许或许是毛病的.
案例1：某单位打算修建一矩形围墙，现有资料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数分解式？
解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：S=x(50-x)
故所求函数的分解式为：S=x(50-x)．
若是解题到此为止，则本题的函数分解式还欠完全，贫乏自变量x的规模.也就说先生的解题思绪不够周密.因为当自变量x取正数或不小于50的数时，S的值是正数，即矩形的面积为正数，这与现实标题标题标题标题标题标题题目相抵触，以是还应补上自变量x的规模：0
即：函数的分解式为：S=x(50-x) （0
这个例子申明，在用函数体例处置现实标题标题标题标题标题标题题目时，必须要注重到函数界说域的取值规模对现实标题标题标题标题标题标题题目的影响.若斟酌不到这一点，就表现出先生思惟贫乏周密性.若注重到界说域的变更，就申明先生的解题思惟进程表现出较好思惟的周密性.
2.函数最值与界说域
函数的最值是指函数在给定的界说域区间上能否取到最大(小)值的标题标题标题标题标题标题题目.若是不注重界说域，将会致使最值的毛病.
案例2：求函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．
解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4
当x=1时，ymin=-4
初看论断，本题仿佛不最大值，只需最小值.发生这类毛病的本源在于先生是按照求二次函数最值的思绪，而不注重到已知前提发生变更.这是思惟机器性的一种表现，也申明先生思惟贫乏矫捷性.
实在以上论断只是对二次函数y= ax2+bx+c(a>0)在R上合用，而在指定的界说域区间[p,q]上，它的最值应分以下环境：
⑴ 当 时，y=f(x)在[p,q]上枯燥递增函数f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
⑵ 当 时，y=f(x)在[p,q]上枯燥递加函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
⑶ 当 时，y=f(x)在[p,q]上最值环境是：f(x)min= ，
f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值.
故本题还要持续做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3
f(5)=52-2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
这个例子申明，在函数界说域遭到限定时，若能注重界说域的取值规模对函数最值的影响，并在解题进程中加以注重，便表现出先生思惟的矫捷性.
3.函数值域与界说域
函数的值域是该函数全部函数值的调集，当界说域和对应法例肯定，函数值也随之而定.是以在求函数值域时，应注重函数界说域.
案例3：求函数 的值域．
错解：令t= ,则2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
故所求的函数值域是 ．
分解：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，
以是当t=0时，ymin=1．
故所求的函数值域是[1, +∞）．
以上例子申明，变量的许可值规模是多么的首要，若能发明变量隐含的取值规模，邃密地查抄解题思惟的进程，便能够或许或许或许或许或许防止以上毛病成果的发生.也便是说，先生若能在解好标题标题标题标题标题标题题目后，查验已取得的成果，长于找出和更正自身的毛病，长于邃密地查抄思惟进程，便表现出杰出的思惟批评性。
4.函数奇偶性与界说域
判定函数的奇偶性，应先斟酌该函数的界说域区间是否是对于坐标原点成中心对称，若是界说域区间是对于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.不然要用奇偶性界说加以判定.
案例4：判定函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]
界说域区间[-1,3]对于坐标原点毛病称
函数y=x3,x∈[-1,3]长短奇非偶函数．
若先生像以上如许的进程解完这道标题标题标题标题标题标题题目，就很好地表现出先生解题思惟的火速性.
若是先生不注重函数界说域，那末判定函数的奇偶性得出以下毛病论断： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函数y=x3, x∈[-1,3]是奇函数．
毛病分解：因为以上做法是不判定该函数的界说域区间是否是对于原点成中心对称的前提下间接加以判定所组成，这是先生极易轻忽的步骤，也是组成论断毛病的缘由.
5.竣事语
综上所述，在求解函数分解式、最值(值域)、枯燥性、奇偶性等标题标题标题标题标题标题题目中，若能邃密地查抄思惟进程，思辩函数界说域有不转变(指对界说域为R来讲)，对解题成果有不影响，便能够或许或许或许或许或许前进先生质疑辨析才能，有益于培育先生的思惟品德，从而不时前进先生思惟才能，进而有益于培育先生思惟的缔造性.
先生进入高中，进修调集这一根基工具后，就起头了高中函数的进修。用调集的观点界说了函数，进而起头了对函数的研讨。可是，不论是求函数分解式、值域，仍是研讨其性子，都离不开对界说域的研讨。
一、函数干系式与界说域
函数干系式包罗界说域和对应法例，以是在求函数的干系式时必须要斟酌所求函数干系式的界说域，不然所求函数干系式能够或许或许或许或许或许是毛病。如：
例1：用竹篱围一个矩形菜园，现有竹篱总长度为100m，求矩形菜园的面积S与矩形长x的函数干系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=（50-x）
故函数干系式为：S=x（50-x） .
若是解题到此为止，则本题的函数干系式还欠完全，贫乏自变量x的规模。也就说先生的解题思绪不够周密。因为当自变量x取正数或不小于50的数时，S的值是正数，即矩形的面积为正数，这与现实标题标题标题标题标题标题题目相抵触，以是还应补上自变量x的规模： 0
即：函数干系式为：S=x（50-x） （0
这个例子申明，在用函数体例处置现实标题标题标题标题标题标题题目时，必须要注重到函数界说域的取值规模对现实标题标题标题标题标题标题题目的影响。这表现了思惟的周密性，培育先生此项品德长短常须要的。
别的如：y=x和 固然对应干系不异，但界说域差别，也是差别的函数。
二、函数值域与界说域
函数的值域是该函数全部函数值的调集，当界说域和对应法例肯定，函数值也随之而定。是以在求函数值域时，应注重函数界说域。如：
例2：求函数 的值域.
错解：令
故所求的函数值域是 .
分解：经换元后，应有t≥0，而函数 在[0，+∞）上是增函数，
以是当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1， +∞）.
以上例子申明，变量的许可值规模的首要性，若能发明变量隐含的取值规模，邃密地查抄解题思惟的进程，便能够或许或许或许或许或许防止以上毛病成果的发生。
求函数值域，常常也会想到函数最值的求解。这里以二次函数
为例举例申明。
例3：求函数 在[1，4]上的最值.
解：
当 时，
初看本题仿佛不最大值，只需最小值。发生这类毛病的本源在于先生是按照求二次函数最值的思绪，而不注重到此题界说域不是R，而是[1，4]。这是思惟机器性的一种表现，也申明先生思惟贫乏矫捷性。先生只晓得操纵对称轴求二次函数最值。可是，那常常是界说域是R的时辰，当前提转变时，须要斟酌完美。本题还要持续做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函数 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
这个例子申明，在函数界说域遭到限定时，应注重界说域的取值规模对函数最值的影响，并在解题进程中加以注重，这申明思惟的矫捷性很首要。
三、函数枯燥性与界说域
函数枯燥性是指函数在给定的界说域区间上函数自变量增添时，函数值跟着增减的环境，以是会商函数枯燥性必须在给定的界说域区间长停止。如：
例4：求出函数f（x）=1n（4+3x-x2）的枯燥区间.
解：先求界说域：
函数界说域为（-1，4）.
令 ，知在 上时，u为减函数，
在 上时， u为增函数。
又
即函数 的枯燥递增区间 ，枯燥递加区间是 。
若是在做题时，不在界说域的两个区间上别离斟酌函数的枯燥性，就申明先生对函数枯燥性的观点博古通今，在做操练或功课时，只是对题型，套公式，而不去体味解题体例的本色，也申明先生的思惟贫乏深切性。此题正解该当是函数 的枯燥递增区间 ，枯燥递加区间是 。
四、函数奇偶性与界说域
判定函数的奇偶性，应先斟酌该函数的界说域区间是否是对于坐标原点成中心对称，若是界说域区间对于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。不然要用奇偶性界说加以判定。如：
例5：判定函数 的奇偶性.
解： 界说域区间 毛病于坐标原点对称
函数 长短奇非偶函数.
若先生像以上如许的进程解完这道标题标题标题标题标题标题题目，就很好地表现出先生解题思惟的火速性
若是先生不注重函数界说域，那末判定函数的奇偶性能够或许或许或许或许或许得出以下毛病论断：
函数 是奇函数.
综上所述，在求解函数干系式、最值（值域）、枯燥性、奇偶性等标题标题标题标题标题标题题目中，若能邃密地查抄思惟进程，思辩函数界说域有不转变（指对界说域为R来讲），对解题成果有不影响，便能够或许或许或许或许或许前进先生辨析晓得才能，有益于培育先生的数学思惟品德，激起先生的缔造力。
在数学讲授中常常会显现求解函数的干系式，碰到如许标题标题标题标题标题标题题目时若是轻忽了所求函数干系式的界说域，将会使求解函数显现毛病的论断。
例1：用长14.8m的钢条来建造一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边长为x，且比另外一底边小0.5m，求容积V对于边长x的函数干系式。
解：设容器高为h，则4（x+0.5+x+h）=14.8，以是h=3.2-2x
V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x
本题解答到这里并不竣事，从标题标题标题标题标题标题题目中咱们不难发明函数干系式还贫乏自变量x的取值规模。此时若是指点先生注重解题思绪的周密性，夸大函数三身分，先生将会有所发明：
因为边长x和x+0.5和高h均大于0，以是由：
x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0
先生思惟一旦贫乏周密性，就很轻易轻忽函数自变量界说域，以是在用函数体例处置现实标题标题标题标题标题标题题目时，务必注重函数自变量的取值规模对现实标题标题标题标题标题标题题目的影响，对先生增强须要指点和练习。
二、操纵函数最值与界说域，培育思惟矫捷性
数学函数求最值的标题标题标题标题标题标题题目充实表现函数界说域的首要性。若是轻忽界说域，将会致使最值的毛病。
例2：已知函数f（x）=■，x≥1
（1）当a=■时，求f（x）的最小值。
（2）若对肆意x≥1，f（x）>0恒建立，务实数a的取值规模。
阐发：此题第（1）问，先生会发生三种思绪：①操纵枯燥性的界说证实f（x）的枯燥性再求最值；②操纵导数判定函数的枯燥性再求最值；③操纵均值不等式求最值。而前两种体例都较为烦琐，以是先生很轻易方向第三种解法。
错解：（1）a=■时，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，当且仅当x=■时，即x=±■时，f（x）■=2+■
分解：固然先生想到了均值不等式如许简练的体例，可是轻忽了均值不等式的操纵前提和函数的界说域。因为±■ 1，+∞，以是“=”取不到，故此解法毛病。
（2）在（1）的经历下，先生在解答这一小题时起头注重到“x≥1”这个前提，因而作以下解答：
由f（x）>0恒建立且x≥1可得x■+2x+a>0恒建立，由二次函数的常识可知，只须要令
或作以下解：
若x■+2x+a>0恒建立，则a>-x■-2x恒建立，则只须要令a大于-x■-2x的最大值便可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，以是a>-1。
可是这两个谜底都是错的，都是没能把界说域斟酌完全，固然在起头的变形与转化中已注重到这个标题标题标题标题标题标题题目，可是跟着解题的深切，在思惟定势的影响下，界说域又忘了。
正解：思绪一，x≥1，若f（x）=■>0恒建立，则只须要x■+2x+a>0恒建立，二次函数g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上递增，若在x≥1时，g（x）恒大于0，则只须要g（1）>0。3+a>0，即a>-3。
思绪二，由x■+2x+a>0恒建立可得a>-x■-2x恒建立，设g（x）=-x■-2x，此中，x≥1，则只须要a>g（x）■=g（1）=-3，以是a>-3。
由此咱们能够或许或许或许或许或许发明，先生在解题进程中的思惟周密性和矫捷性不是短时辰内便能够或许或许或许或许或许养成的，这时辰辰，教员该当提醒先生注重自变量的取值规模，如许便能够或许或许或许或许或许突破先生的思惟定势，前进其矫捷性。
三、操纵函数值域与界说域的干系，培育思惟批评性
在数学函数中当界说域和对应法例肯定上去，函数的值也将会随之而肯定。是以，咱们在解答函数值域的标题标题标题标题标题标题题目时，要高度正视函数界说域的标题标题标题标题标题标题题目。
例3：已知函数f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。
错解：设sinx+cosx=t，则sinxcosx=■，以是，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域为[1，+∞）。
分解：换元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）-■≤t≤■
g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1
f（x）的值域是[-1，■+■]。
自变量的取值规模对函数值域很是首要，是以，教员要能够或许或许或许或许或许严酷请求先生对做完的习题停止查验，发明和订正毛病，从而培育先生杰出的进修习气，前进先生思惟的批评性和松散性。
四、操纵函数枯燥性与界说域，培育思惟深切性
在解答函数习题时，万万不能疏忽函数的枯燥性，应夸大在给定的界说域区间上函数自变量增添时，函数值随之增减的环境，会商函数枯燥性在给定的界说域区间上的变更环境。
例4：指出函数f（x）=■的枯燥区间。
解：先求界说域：log■（x■2x）≠0，x■2x≠1
又x■2x>0，以是函数界说域为：
（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）
设u= x■-2x，则u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上递加，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上递增。按照复合函数枯燥性的判定体例，可知f（x）的枯燥减区间是（-∞，1-■）和（1-■，0）；枯燥增区间是（2，1+■）和（1+■，+∞）。
（一）在看图读题中“说数学”
低年级数学讲义有大量情势多样、富有乐趣性的主题图显现数学信息。培育先生学会从数学的角度察看画面，从中挑选有用的数学信息提出标题标题标题标题标题标题题目，处置标题标题标题标题标题标题题目。能够或许或许或许或许或许有用前进先生的数学说话才能。比方，进修人教版一上《比几多》时，能够或许或许或许或许或许如许指点先生读图和看图体例。
片断描写：
【课件显现主题图】
标题标题标题标题标题标题题目1：咱们来比一比，小兔的只数和它们手中搬的砖头的块数，谁多谁少？
生：兔子有4只，砖头也有4块，它们一样多。（按照先生回覆贴出兔子图和砖块图）
师：兔子有4只，砖头也有4块，1只兔子对应1块砖头，逐一对应起来，最初谁也没多出来，谁也没少。咱们就说它们“一样多”。这类1个和1个对应起来比拟的体例，咱们称它为“逐一对应”的体例。
标题标题标题标题标题标题题目2：你还能从图中找出一样多的工具吗？
生1：凳子有4张，砖头也有4块，它们一样多。
生2：兔子有4只，凳子也有4张，它们一样多。
生3：木头有4根，凳子也有4张，它们一样多。
……
按照先生的回覆，课件出示响应的工具，并逐一对应起来。
标题标题标题标题标题标题题目3：比一比小猪的只数和木头的根数，它们也一样多吗？为甚么？
生1：小猪有3只，木头有4根，木头的根数比小猪的只数多。（按照先生回覆贴出小猪图和木头图。）
生2：3只小猪扛着3根木头，地上还多出1根，木头比小猪多。（用虚线逐一对应起来。）
师：1只小猪和1根木头逐一对应起来，木头多出1根，小猪少了1只，咱们就说，木头比小猪多，小猪比木头少。
由上述树模，大局部先生也能切确、完全地用数学说话抒发图中的各类信息。
在孩子们的眼里，主题图中的画面更多的是故任务节而不是数学信息，须要教员经由进程发问的体例指点先生读图、把握看图体例，从而适当地“说数学”。如标题标题标题标题标题标题题目1是指点先生经由进程察看兔子的只数和砖头的块数，进而发明，接纳逐一对应体例，间接取得数目是一样多的，履历了“一样多”的糊口说话到“一样多”的数学说话的转化。持久对峙指点先生在看图读题中“说数学”，便能够或许或许或许或许或许前进先生的读图、读题才能，成长先生的思惟。
（二）在变式练习中“说数学”
数学思惟的深切性来自对事物本色属性的晓得，若何培育这类思惟品德？变式练习无疑是一种好战略。如进修人教版一下“求一个数比另外一个数多（少）几”时，能够或许或许或许或许或许指点先生停止一次“谜底稳定，换个说法”的比赛。
片断描写：
【黄气球9个，红气球27个，共有几多个气球？】
师：你能给标题标题标题标题标题标题题目换个说法，又能使标题标题标题标题标题标题题目谜底稳定？
按照先生的回覆，有以下几种变更情势：
①红气球27个，黄气球比红气球少18个，共有几多个气球？
②黄气球9个，比红气球少18个，共有几多个气球？
……
讲堂中让先生到场如许的变式练习，以丰硕的说话变更情势抒发特定数学信息，从而培育先生的阐发、综合、判定、推理等思惟才能，以“说数学”的行动发散思惟。再如温习人教版二上“表内乘法”这一单位时，比方2×9=（ ），3×8=（ ），教员能够或许或许或许或许或许罢休让先生经由进程变式设想成（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=18，（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=24，经由进程如许的设想，让先生的数学思惟取得扩大，更能让先生对《表内乘法》加倍深切晓得，牢记表格更深切。
变式练习能赞助先生熟悉事物的本色特色，晓得根基观点和道理，增进先生思惟的成长和智能的前进。
二、基于进修体例的数学说话抒发
（一）在脱手操纵中“说数学”
低年级的先生以笼统思惟为主，操纵勾当为笼统思惟供给直观的载体，用数学说话描写操纵进程，把脱手操纵、动脑晓得、动口抒发连系起来，能够或许或许或许或许或许把感知转化为智力勾当，到达深度晓得常识的成果。
如在进修人教版二下“缺乏党法”这一课时，可设想以下操纵勾当。
片断描写：
1.【显现请求：3根小棒摆一个三角形，6根能够或许或许或许或许或许摆几个？】先生脱手操纵后停止反应。显现先生作品：；指点先生借助图示说算式寄义，回首表内除法寄义。
2.【跟进请求：同理，7根小棒呢？】先生预测并再次脱手操纵考证，展现反应：；指名先生借助图示说算式寄义，教员指点先生重点互换“1根”小棒发生的缘由及寄义，再以对照的体例，借助详细情境晓得“余数”寄义。
教员指点先生经由进程操纵、对照晓得余数及其寄义，因为余数是均匀分完后剩下的那局部，直观操纵、借图说理和对照有益于先生建构对余数寄义的晓得。
（二）在算理抒发中“说数学”
晓得算理是切确计较的首要保障。低段先生机器仿照才能较强，但不长于思虑标题标题标题标题标题标题题目。计较讲授时经由进程“说”的练习和“说”指点，正视说想的进程，能加深对算理的深切晓得，稳固算法，前进计较才能，培育先生抒发才能，成长思惟。
如进修人教版二上“两位数进位加法”，脱手操纵建立了35+37=72的表象后，强化说算理的进程。
片断描写：
1.【按照情境列出算式35+37】
发问：35+37即是几多？请你用手中的小棒或小正方体摆一摆，也能够或许或许或许或许或许用计数器拨一拨，算一算。
报告请示互换：①把个位上的小棒捆成1捆。②把个位上满10的珠向十位进1。
诘问：为甚么两种差别的学具操纵时都要把个位上的一个10给十位？
先生一边操纵，一边诠释“进1”的缘由。
在低年级数学讲堂上只需手脑并用，指点先生边脱手操纵、动眼察看、动脑思虑、边口述操纵进程，借助说话，把思惟进程大白、清楚地抒发出来。把想与说，看与说，做与说无机地连系起来，在充实感知的底子上，并经由进程说话将操纵进程“内化”为思惟。
2.【先生测验考试列竖式计较】
生：个位上5加7得12，个位写2。而后在十位上记下1，十位上3加3得6，再加上记下的1是7。
师：你为甚么要记下这个1呢？
生：进位呀！
师：甚么时辰进位？若何进位？
生：满十就要进位，从个位向十位进位！
按照先生的回覆，完全地出示计较进程。
个位：5+7=12，它外面有1个十和2个一。
在个位上写2，向十位进1。
十位：3+3+1=7表现7个十。
闻名数学家华罗庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之变，生物之迷，日用之繁”无一能分开数学。对数学地位如斯精炼的概述，可见数学通报给天下的，除逻辑推理常识之外，也有其怪异的艺术魅力。乡村小先生到场抵家务任务中去的时辰较多，在底子现实方面的把握和晓得上绝对软弱，是以，须要从数学标记自身转达的本色寄义、糊口化寄义动手，培育先生对数学标记的浏览乐趣，使先生在浏览数学标记的同时能够或许或许或许或许或许感遭到数学逻辑思惟带给他们的愉悦的感情休会。
一、从数学标记起头浏览
“×÷■±≠=≮≯∑”是运算标记；“∠⌒≌°|a|∽”是几多标记；“∪∩∈Φ？埭”是调集标记；“@ # ￥”是出格标记；“ ”是推理标记。数学标记作为一种说话意味自力于其余种别的说话标记而存在，它们的显现比数字显现要晚很多，人类缔造了数字并付诸现实，发明纯真的数字显现并不能完全意思地申明数目之间的逻辑干系。是以，在初期货色互换进程中，为了抒发数目之间的逻辑干系，人们不得不再停止白话化诠释。厥后白话现场诠释处置不了异地、非面临面的买卖标题标题标题标题标题标题题目，是以，数学标记跟着书面笔墨的成长就应运而生了。如，“+”来历于十六世纪意大利迷信家塔塔里亚的数理运算，它意图大利文“plu”的首个字母来表现“加”。跟着时期的迁徙终究演化为“+”的外形并相沿至今。
乡村小先生底子数理常识的进修，要从标记抓起。而让他们爱上数学要从爱上浏览数学标记起头，而爱上数学标记又要从解读数学标记的实在寄义起头。
二、融入糊口中的数学浏览
数学教员用自身的标记说话在黑板上做了以下表述：2x+3y+z=13，不显现一个汉字。先生问教员：“这些标记是甚么意思呢？”先生A回覆说：这是个和苹果有关的故事，甲小孩拿了2个苹果，乙小孩拿了3个苹果，丙小孩拿了1个苹果，一共拿走了13个苹果。先生B回覆说：这是一个三元一次方程式，已知数是“2、3、1和13”，x、y、z是这个不定式方程的求解未知数。先生C回覆说：将x乘以2，将y乘以3，将z乘以1，三者相加的成果是13，问x、y、z各是几多？
教员笑了笑说：这些标记说话，便是咱们用来停止数学进修的工具――数学标记。外面的2、3、1、+、=都是标记化的数学说话。可是三个先生的晓得是有误差的，A同窗看到的是说话情境，B同窗看到的是说话情势，只需C同窗看到的才是标记原来的寄义。从句式布局上讲，同窗B口中的三元一次方程式既不能是陈说句，又不会是感慨句，而该当是疑难句。方程式在不正式解答之前都是疑难句。
数学标记的本色寄义都是一种不谜底的逻辑推理，将笔墨说话和数学标记彼此转换能够或许或许或许或许或许最大限制地激起先生对标记的进修主动性，从而前进先生对数学标题标题标题标题标题标题题目的糊口化浏览才能。
三、感触感染数学标记化说话带来的浏览休会
数学标记就像是积木，每个小小游乐土里的修建物都是由差别外形、差别色彩的积木块搭建而成，而这些积木机关中又包罗了修建常识的统统信息，须要搭建者去认知、贯通、晓得和操纵。先生除要晓得积木的“外形、色彩、机关”等本色特色之外，还须要前进把握A积木与B积木或C积木之间的建构干系，在积木搭建进程中操纵好这些积木之间的逻辑干系，从而搭建出抱负中城堡的模样。
标记串连融入习题的讲授体例给先生带来了一种不一样的思惟情势，传统讲堂上先生只晓得数学标记是解题的线索和答题的工具，并不完全体味数学标记在数学成长史及第足轻重的地位。而标记融入高中数学讲授中，最大限制地将数学标记的原始面目面貌显此刻先生眼前，让先生“脑洞大开”，思惟上遭到不一样的浸礼，久远来看，长短常具备数学意思的。
观点白话练习的首要内容稀有和形的寄义、数的组成的读法和写法。练习重点应放在观点寄义的组成进程和操纵进程的表述上。教员能够或许或许或许或许或许在先生有必然感知底子上，由扶到放，到达晓得观点的寄义。比方第一册加法意思的讲授。教员建立情境，借助糊口让先生晓得若何说，如2+1，能够或许或许或许或许或许设想成2只兔子在一块圆形的草地上吃萝卜，教员用圆圈将草地圈上，再显现1只兔子跑出去也要吃萝卜，外面再来一个大圈。这时辰辰，教员问先生共有几多只兔子要吃萝卜（让先生体味共有几多个便是把它们归并起来）。如许的指点，一年级的先生便能够或许或许或许或许或许很快复述把2只兔子和1只兔子归并在一路，求一共是几多只，用加法计较。“+”号表现归并的意思。低年级的先生笼统笼统比拟差，糊口情境能够或许或许或许或许或许让他们大白加法观点的寄义，固然教员不大白说这是观点的寄义，但先生能够或许或许或许或许或许按照情境来复述加法计较的进程，若是先生在复述时抒发不清，教员只需恰当点拨就行。
数的寄义和运算意思的操纵进程，要练习先生看到一个数或一个运算款式，能够或许或许或许或许或许在脑筋里把笼统归结综合出来的通俗观点与现实，与详细事物接洽起来，这是熟悉进程的第二次奔腾。如看到一个小数或算式，便能够或许或许或许或许或许讲出它的寄义。
二、计较练习重在算理
计较白话练习的首要内容有口算的思惟进程和笔算的算理算法。每个先生在口算时都有自身的一个战略，但这个战略有必然的算理在外面，分开了算理，先生口算就会显现毛病，教员要正视算理的教授，鼓动勉励先生将若何算的进程讲出来。如7+5=（ ），这是一年级先生最常要算的口算题，它的算理是凑十法，若何让先生疾速凑十，教员要指点先生口述计较进程：7和几凑成10（7和3凑成10），把5分红3和2，7加3得10， 10再加2得12，以是7加5即是12。练习时应注重：1.先理后法，即先晓得算理，后归结综合口算体例。2.先详后略，即先讲详实的思惟进程，再扼要申明进程。如下面凑十法的口算进程，当先生说得较谙练时，能够或许或许或许或许或许让先生简单说：7+3=10，10+2=12。最初间接说出得数。3.先请求口算到达切确，再请求口算到达敏捷。
三、操纵题练习重在思绪
操纵题白话练习的内容有“四讲”。
1.讲题意。先是读题练习。“读”是思惟的第一步，是取得信息的阶段。请求先生读得切确、清楚，不漏字、不加字、不读破句子。再是讲题意练习，练习先生用自身的话来复述题意。
2.讲阐发数目干系的进程。这是白话练习的重点。数目干系是操纵题的难点，只需让先生大白已知前提和标题标题标题标题标题标题题目之间的干系，先生解答时才能变得简单，再难的操纵题也是由简单的组合而成的。操纵题的算理练习的重点放在两个转化上，一个是把操纵题中的平常说话转化为数学说话；二是把数学说话转化为数学款式。如阐发“王教员买了32支铅笔，要均匀奖给8个同窗，每个同窗能够或许或许或许或许或许取得几支”。先生刚打仗这类标题标题标题标题标题标题题目时，教员在指点时要开导先生：把32均匀分红8份，每份是几，便是每个同窗取得的支数。按照“要分的总数作被除数，均匀分的份数作除数”，列式成32÷8。复合操纵题阐发数目干系的重点放在讲思绪上。常常利用的解题思绪有综合法、阐发法和阐发综合法三种。综合法是从前提想起，常常利用的思绪提醒语是“晓得了……和……能够或许或许或许或许或许求出……”；阐发法是从标题标题标题标题标题标题题目想起，常常利用的思绪提醒语是“请求……，必须晓得……和……”；阐发综合法常常利用的思绪提醒语是“最初标题标题标题标题标题标题题目的数目干系式是甚么”、“这个干系式中哪一个数目是已知的，哪一个是未知的”、“按照已知前提甚么和甚么，能够或许或许或许或许或许求出未知数目甚么”。
数学进修的进程，是儿童认知布局不时自我构建、重组、点窜、完美的进程。咱们的数学讲授，不只需让先生取得数学常识，组成数学手艺，更加首要的是晋升先生的数学素养。笔者以为，数学讲授底子代价寻求在于：经由进程数学进修，成长先生思惟力，激活先生设想力，晋升先生进修力。讲授中，教员要潜泳到儿童数学“焦点素养”的天然地带，赞助儿童沉淀根基数学勾当履历，组成数学思惟体例，晋升数学文明、精力与风致。
一、培育儿童数熟悉，增进数学思惟走向远方
“数熟悉”即“数感”，是儿童数学焦点素养的首要方面。数熟悉不只是儿童对数的感知觉，更是儿童对数与数、数与式、式与式等之间接洽干系的熟悉和矫捷应用数学常识处置标题标题标题标题标题标题题目的才能。在数学讲授中，教员不只需让儿童“眼中稀有”，更要让儿童“心中稀有”。比方讲授《“0”的熟悉》（苏教版小数课本第1册），笔者在指点儿童熟悉“0”时，让孩子们找糊口中的“0”，从而奇妙地渗入数学中“0”的差别寄义。讲堂互换中，有孩子在牛奶瓶上找到了“0”，这里的“0”表现牛奶喝完了。笔者由此相机揭露“0”的第一层寄义――“0”表现不；有孩子在直尺上找到了“0”，笔者则趁势揭露“0”的第二层寄义――“0”表现出发点：有孩子在温度计上找到“0”，笔者由此揭露“0”的第三层寄义――“0”表现分界，等等。经由进程糊口与数学之间的意思接洽干系，丰硕先生数的晓得，从而在儿童心中建立起“0”的心思镜像。
儿童数熟悉的培育，是咱们数学讲授勾当的首要组成局部。这里，笔者经由进程正迁徙的体例，从儿童的自我发明中实时归结、总结，让“0”这个通俗的数字的三层寄义――不、出发点、分界，极为感性地显现于他们眼前，是他们赞叹于数字的丰硕内在。咱们率领儿童数学进修的终究方针，便是增进他们在数学上取得属于自身的最大能够或许或许或许或许或许的差别成长。咱们若是能够或许或许或许或许或许在“保底”的前提下尽力增进儿童具备杰出的数熟悉，那末，他们的数学思惟才能走向远方。
二、成长儿童思惟力，真正晋升儿童数学晓得
数学晓得是以观点、判定和推理为底子的感性晓得。讲授中，因为每个儿童的常识履历、糊口履历差别和认知特质和认知状况差别使得每个儿童的思惟体例各不不异，有先生善于操纵思惟、有先生善于图形思惟、有先生善于标记思惟等。讲授中教员要依靠儿童的思惟特质，晋升儿童数学晓得。比方：讲授《熟悉长方形和正方形》（苏教版小数课本第5册），差别先生应用差别体例探讨长方形和正方形的特色，有孩子用“丈量法”丈量边的长度、角的度数：有孩子用“半数法”探讨对边特色、对角特色；有孩子用“拼搭法”做长方形和正方形，从“做”中探讨特色；有孩子用“画平行线和垂线”的体例寻觅长方形和正方形特色……
在数学探讨中，先生充实应用自身的前履历、前晓得、前认知测验考试处置新标题标题标题标题标题标题题目，在如许的矫捷思惟中，旧知取得充实的回首和矫捷应用，新知有了去目生化的奠定，从而，新旧认知取得最公道的桥接。像这里，先生在现实、互换、会商、思惟碰撞中，逼真熟悉到长方形、正方形的根基特色，如四个直角、对边相称、四边相称……在此底子上，教员再经由进程对长方形的扭转、减少、减少等变更，让先生按照特色组成长方形的感性判定，能够或许或许或许或许或许再度深入先生对数学常识的本色晓得。
三、开辟儿童设想力，更好地建构起数学常识
数学设想是数学缔造的基石。爱因斯坦说：“设想力比常识更首要，因为常识是无限的，而设想力却归结综合着天下上的统统，并且鞭策着迷信前进。”在数学讲授中，教员要有熟悉地建立成长儿童设想力的情境、空间，激活儿童的数学设想，让儿童依靠设想更好地建构数学常识。比方：讲授《长方体和正方体的熟悉》（苏教版小数课本第9册），笔者在先生开端把握了长方体和正方体的称号、特色和干系后，便测验考试指点先生睁开静态设想：教员先擦去一条棱，让先生设想长方体：再擦去一条棱，再设想完全的长方体……如许，跟着棱的条数愈来愈少，现实显现的长方体完全关闭，在这不再封锁的图形变更中，孩子们发明：只需具备订交于统一个极点的三条棱，便能够或许或许或许或许或许经由进程静态设想复原、重修出长方体的框架。教员由此天然揭露长方体的长、宽、高。如许的静态设想，一方面稳固了长方体特色常识：另外一方面赞助先生建立了三S思虑、设想的空间，丰硕了先生的设想履历。
数学说话是数学化了的天然说话，是抒发迷信思惟的通用说话和数学思惟的最好载体。它包罗标记说话、笔墨说话和图表说话，具备简练、笼统、清楚和情势多样的特色。不管是标记说话仍是图表说话，终究让先生晓得其寄义都要经由进程笔墨说话的表述，以是，这里重点论述数学的笔墨说话。
一、数学笔墨说话的特色
1.切确性。
天然说话具备多义性，迷糊不清，而数学说话必须切确、周密、清楚，不存在歧义，它是抒发数学观点、判定、推理、定理的逻辑思惟说话，与富有弹性的文学说话比拟，数学说话有一副“铁板的面目面貌”。它的每个字、词都有切当的寄义，不容混合。“一元一次方程”与“一元二次方程”、“直线和射线”、“钝角和锐角”等，一字之差，表现完全差别的两个观点；词序倒置，也会抒发两种差别的意思，如“全不为零”与“不全为零”、“方程解”与“解方程”等。数学说话中，句子的附加成分常常作为前提，如界说“底面是正多边形的直棱柱”中的定语，定理“平行四边形中，对角线相互等分”中的状语，都是不可增删的前提，这便是数学独有的性子——数学说话的切确性。
2.松散性。
数学另有一副钢制的骨架——松散的逻辑。出格不能取代通俗，局部不能取代全体，不能臆断、不能轮回论证等。这些特色决议数学观点要表述切确，判定和推理要周密，论述要符合逻辑。以是，讲授中教员要做到：讲观点，捉住本色，切确无误；做推理，步步有据，完全精密；得纪律，精益求精，自作掩饰。不只如斯，还要对观点的界说停止剖解，对定理、法例中的关头词语下一番句斟字嚼的工夫，并恰当辅以反例，以大白观点的内在。如，一名教员在讲授分数的开端熟悉时，指着一张纸的四分之一处说：这是四分之一。这句话切确吗?是否是贫乏一些润色语呢?数字只是一种“表现”标记。注重我这里夸大的是一种“表现”，决不能说它“是”甚么。如不能指着你的手说这是“5”，而应说这是5个手指头，再若有3棵树，不能指着树说：这是3，而应说这是3棵树。以是，适才提到的分数开端熟悉的四分之一切确的说法是：能够或许或许或许或许或许用四分之一来表现，或占这张纸的四分之一，是这张纸的四分之一等。如许的数学说话才切确、松散、标准。再如，分数的根基性子，分数的份子和分母同乘或除以一个不异的数(零除外)，分数的巨细稳定。这句话里的“同时”、“不异”、“零除外”这些词归结综合得很是切确、松散，缺一不可，若是不这些词分数的根基性子就不建立了。
3.简练性。
数学的逻辑松散、高度笼统必然带来数学说话的简练。用数学说话抒发数学现实，要出格注重详略适当，简练了然，凡频频的或过剩的论述应力求防止，而必须交接的事变则必然要论述清楚，不可省略。比方加法互换律：两个数相加，互换加数的地位和稳定。冗长的一句话包罗了三层意思：研讨规模是两个加数，互换加数的地位，和稳定。该当说不能再少一个字了。再如三角形的界说，由三条线段围成的图形。只需10个字，“三条”、“线段”、“围成”、“图形”再加上毗连词“由”和“的”，归结综合得周密切确，惜字如金，不任何过剩成分。
二、若何讲授数学的笔墨说话
1.找准每节课的焦点数学说话或关头词。
数学内容是由数学说话组成的，数学讲授便是数学说话的讲授。教员按照讲授内容，在讲授时要尽可能把每节课的数学常识提炼成一两句数学说话或一两个关头词，紧扣数学说话或关头词睁开讲授。如许，先生不只能晓得数学常识，更能够或许或许或许或许或许成长思惟，增加聪明。
如，讲授长、正方形的周长，对于周长的描写，“围成物体一周的总长，叫做这个物体的周长”，“围成图形一周的总长，便是这个图形的周长”，这里要凸显“一周”、“总长”。
又如，讲授“面积”时，“物体外表的巨细或封锁图形的巨细叫做面积”。这里要凸起“外表”和“封锁图形”，教员在讲授时表述要切确、清楚，如黑板面的巨细、课桌面的巨细、数学书封面的巨细、墙壁面的巨细等。
再如，在“分数的开端熟悉”一课中，把一个物体均匀分红(
)份，此中的一份是这个物体的(
)，这句话要让先生连系详细物体才能够或许或许或许或许或许完全地表述出来，便是说，不请求先生用说话归结综合出分数的意思，但要能够或许或许或许或许或许连系详细物体把某一详细分数的寄义表述完全，如许才能申明先生真正晓得了某一分数表现的寄义，不然便是一本胡涂账。经由进程这类数学说话的讲授，先生才能真正晓得数学常识的寄义，成长思惟，增加聪明。
2.数学说话的笼统进程要清楚。
数学说话的笼统便是从浩繁的糊口现实中舍弃非数学的，提取出个性的、配合的、数学独有的工具。提取的时辰要分红两步，起首，相干的糊口现实要丰硕，其次，停止披沙拣金，披沙拣金，提炼出数学本色的工具。如讲授长方形、正方形的周长，教员能够或许或许或许或许或许先用镜框的边线停止引入：“围成这个镜框一周木线条的总长，就叫做这个镜框的周长。”教员一边说一边用手比划，接着问：“甚么是黑板的周长?”一样让先生一边用手比划，一边用说话描写。再接着让先生描写甚么是讲桌的周长、课堂里墙壁上画框的周长、窗户玻璃的周长等。最初让先生撇开这些详细的什物，用一句话来归结综合究竟甚么叫物体的周长?指点先生总结出：围成物体一周的总长度，叫做物体的周长。即先连系详细什物用数学说话停止描写，接着再指点先生撇开详细什物归结综合出纯数学说话。
3.归结综合时要突凸显数学说话的焦点词。
语文讲授中要捉住关头词、关头句停止讲授，一样数学讲授中也要捉住关头词、句停止讲授。如上述的物体的周长描写中的“围成”、“一周”、“总长”，便是周长界说的关头词，先生停止总结的时辰，教员要指点先生把这些关头性的词语凸显处置。那末，若何才能凸显这些关头词呢?
起首，举反例引出关头词，如孩子在归结综合周长的时辰，若是不加上“围成”这个词，教员能够或许或许或许或许或许在黑板上顺手画上一片树叶，并用红笔描出泰半个周长，质疑先生这是这片树叶的周长吗?引出“围成”这个词，申明“围成”是要首尾相连和封锁的。
一谈及浏览，人们遐想的常常是语文浏览，可是，跟着社会的成长、迷信手艺的前进及“社会的数学化”，仅具语文浏览才能的社会人已较着地显现出其才能的缺乏，如他们看不懂某些产品利用申明书，看不懂股市走势图，等等。此即标明，古代及将来社会请求人们具备的浏览才能已不再只是语文浏览才能，而是一种以语文浏览才能为底子，包罗外语浏览才能、数学浏览才能、科技浏览才能在内的综合浏览才能。是以，在只正视语文浏览才能培育确当今黉舍教导中，增强学科浏览教导研讨，摸索学科浏览讲授的出格性及教导功效，熟悉学科浏览才能培育的首要性，就显得尤其首要。这里就数学浏览的出格性谈谈观点。
数学浏览的出格性：
数学是一种说话，“之前，人们以为数学只是天然迷信的说话和工具，此刻数学已成了统统迷信――天然迷信、社会迷信、办理迷信等的工具和说话”。不过，这类说话与平常说话差别，“平常说话是风俗的产品，也是社会和政治勾当的产品，而数学说话则是稳重地、成心地并且常常是经心设想的”。是以，美国闻名心思学家布龙菲尔德说：“数学不过是说话所能到达的最高境地”。更有前苏联数学教导家斯托利亚尔言：“数学讲授也便是数学说话的讲授”。而说话的进修是离不开浏览的，以是，数学的进修不能分开浏览，这便是数学浏览之由来。
数学浏览进程同通俗浏览进程一样，是一个完全的心思勾当进程，包罗说话标记（笔墨、数学标记、术语、公式、图表等）的感知和认读、新观点的异化和适应、浏览资料的晓得和影象等各类心思勾当身分。同时，它也是一个不时假定、证实、设想、推理的主动能动的认知进程。但因为数学说话的标记化、逻辑化及松散性、笼统性等特色，数学浏览又有差别于通俗浏览的出格性，熟悉这些出格性，对指点数学浏览有首要意思。
起首，因为数学说话的高度笼统性，数学浏览须要较强的逻辑思惟才能。在浏览进程中，读者必须认读感知浏览资料中有关的数学术语和标记，晓得每个术语和标记，并能切确按照数学道理阐发它们之间的逻辑干系，最初到达对资料的本真晓得，组成常识布局，这中心用到的逻辑推理思惟出格多。而通俗浏览“晓得和感知仿佛融会为一体，因为这类环境下的浏览，首要的是应用已有的常识，把它与新的印象接洽起来，从而把握浏览的工具”，较少应用逻辑推理思惟。
其次，数学说话的特色也在于它的切确性，每个数学观点、标记、术语都有其切确的寄义，不迷糊不清或易发生歧义的辞汇，数学中的论断错对清楚，不存在貌同实异迷糊其词的断言，当一个先生试图浏览、晓得一段数学资料或一个观点、定理或其证实时，他必须体味此中显现的每个数学术语和每个数学标记的切确寄义，不能轻忽或略去任何一个不晓得的辞汇。是以，浏览、疾速浏览等浏览体例不太合适数学浏览进修。
数学浏览进程同通俗浏览进程一样，是一个完全的心思勾当进程，包罗说话标记（笔墨、数学标记、术语、公式、图表等）的感知和认读、新观点的异化和适应、浏览资料的晓得和影象等各类心思勾当身分。同时，它也是一个不时假定、证实、设想、推理的主动能动的认知进程。但因为数学说话的标记化、逻辑化及松散性、笼统性等特色，数学浏览又有差别于通俗浏览的出格性，熟悉这些出格性，对指点数学浏览有首要意思。
起首，因为数学说话的高度笼统性，数学浏览须要较强的逻辑思惟才能。在浏览进程中，读者必须认读感知浏览资料中有关的数学术语和标记，晓得每个术语和标记，并能切确按照数学道理阐发它们之间的逻辑干系，最初到达对资料的本真晓得，组成常识布局，这中心用到的逻辑推理思惟出格多。而通俗浏览“晓得和感知仿佛融会为一体，因为这类环境下的浏览，首要的是应用已有的常识，把它与新的印象接洽起来，从而把握浏览的工具”，较少应用逻辑推理思惟。
其次，数学说话的特色也在于它的切确性，每个数学观点、标记、术语都有其切确的寄义，不迷糊不清或易发生歧义的辞汇，数学中的论断错对清楚，不存在貌同实异迷糊其词的断言，当一个先生试图浏览、晓得一段数学资料或一个观点、定理或其证实时，他必须体味此中显现的每个数学术语和每个数学标记的切确寄义，不能轻忽或略去任何一个不晓得的辞汇。是以，浏览、疾速浏览等浏览体例不太合适数学浏览进修。
第三，数学浏览请求当真详尽。浏览一本小说或故事书时，能够或许或许或许或许或许不注重细节，停止跳阅或浏览无乐趣的段落，但数学浏览因为数学教科书编写的逻辑松散性及数学“言必有据”的特色，请求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应详尽地浏览阐发，体味其内容、寄义。对新显现的数学界说、定理通俗不能一遍过，要频频细心浏览，并停止当真阐发直至弄懂寄义。数学浏览常显现这类环境，熟悉一段数学资料中每个字、词或句子，却不能晓得此中的推理和数学寄义，更难体味到此中的数学思惟体例。数学说话情势表述与数学内容之间的这一抵触决议了数学浏览必须勤思多想。
在浏览进程中，读者必须认读感知浏览资料中有关的数学术语和标记，晓得每个术语和标记，并能切确按照数学道理阐发它们之间的逻辑干系，最初到达对资料的本真晓得，组成常识布局，这中心用到的逻辑推理思惟出格多。而通俗浏览“晓得和感知仿佛融会为一体，因为这类环境下的浏览，首要的是应用已有的常识，把它与新的印象接洽起来，从而把握浏览的工具”，较少应用逻辑推理思惟。
二、数学说话的特色也在于它的切确性
每个数学观点、标记、术语都有其切确的寄义，不迷糊不清或易发生歧义的辞汇，数学中的论断错对清楚，不存在貌同实异迷糊其词的断言，当一个先生试图浏览、晓得一段数学资料或一个观点、定理或其证实时，他必须体味此中显现的每个数学术语和每个数学标记的切确寄义，不能轻忽或略去任何一个不晓得的辞汇。是以，浏览、疾速浏览等浏览体例不太合适数学浏览进修。
三、数学浏览请求当真详尽
浏览一本小说或故事书时，能够或许或许或许或许或许不注重细节，停止跳阅或浏览无乐趣的段落，但数学浏览因为数学教科书编写的逻辑松散性及数学 “言必有据”的特色，请求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应详尽地浏览阐发，体味其内容、寄义。对新显现的数学界说、定理通俗不能一遍过，要频频细心浏览，并停止当真阐发直至弄懂寄义。数学浏览常显现这类环境，熟悉一段数学资料中每个字、词或句子，却不能晓得此中的推理和数学寄义，更难体味到此中的数学思惟体例。数学说话情势表述与数学内容之间的这一抵触决议了数学浏览必须勤思多想。
四、数学浏览进程常常是读写连系进程
一方面，数学浏览请求影象首要观点、道理、公式，而誊写能够或许或许或许或许或许加速、增强影象，数学浏览时，对首要的内容常经由进程誊写或作条记来增强影象；另外一方面，课本编写为了繁复，数学推理的来由常省略，运算证实进程也常简单，浏览时，若是从上一步到下一步跨度较大，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，以便顺遂浏览；另有，数学浏览经常请求从课文中归结综合归结出一些工具，如解题格局、证实思惟、常识布局框图，或举一些反例、变式来加深晓得，这些常常请求读者以注脚的情势写在页边上，以便今后温习稳固。
